DU BUREAU DES LONGITUDES, DE LÉCOLI': POLYTECHNIQUE

Quai des Grands-Auguslins, 55.

Tous droits de traducLion et de i-eproduction réservés.

LEÇONS

DE

311. La ihéone de la Lune doit être exposée en deux parties; dans la première partie, on cherche quel serait le mouvement de la Lune, si la Lune, le Soleil et la Terre existaient seuls et étaien, réduits à des points matériels; dans la seconde partie, on cherche comment ce mouvement est troublé par l'attraction des planètes et par l'influence de l'aplatissement terrestre.

La première partie n'est donc qu'un cas particulier du problème •des trois corps, et la difficulté ne provient que de la grandeur relativement considérable des perturbations produites. Le rapport de la force perturbatrice à l'attraction du corps central est, comme nous l'avons vu au Chapitre II (p. 5-), de l'ordre de

mi /ACy

77? 4 étant la masse du corps troublant, m-; celle du corps central AC et BC les distances mutuelles des trois corps. Ce rapport est le produit de deux facteurs dont l'un est le rapport des masses et l'autre le cube du rapport des distances. Dans le cas des planètes, le premier facteur est très petit, et le second fini ; dans le cas de la Lune, au contraire, le premier facteur est grand et le second très petit. Il en résulte que le produit des deux facteurs est petit sans

doute, sans quoi le problème ne pourrait se résoudre par approximations successives, mais beaucoup moins petit que dans le cas des planètes, de sorte que l'approximation est beaucoup plus lente.

La difficulté et l'importance du problème ont amené un grand nombre de géomètres à s'en occuper et l'étude de leurs recherches est extrêmement intéressante au point de vue historique; on en lira avec profit l'exposé dans le Tome III de la Mécanique céleste, de Tisserand. Mais aujourd'hui on peut dire qu'il n'y a plus que trois méthodes qui comptent : celle de Hansen, celle de Delaunay et celle de Hill-Brown.

Celle de Hansen est celle qui a servi à construire les Tables actuellement en usage. Ces Tables sont d'une exactitude remarquable et, si elles s'écartent des observations, les divergences ne sont pas dues à un défaut de la méthode (au moins tant qu'on ne considère que le Soleil, la Terre et la Lune), puisque les autres méthodes, plus satisfaisantes au point de vue théorique, semblent devoir conduire aux mêmes divergences, mais à l'omission de quelque terme provenant de l'action des planètes ou à quelque cause inconnue. Cette méthode est toutefois très compliquée et je renonce à l'exposer ici, renvoyant soit aux Ouvrages originaux de Hansen, soit au résumé qu'on trouvera au Chapitre XYII du Tome III de Tisserand. Le succès de Hansen paraît dû surtout à son habileté et à sa patience personnelles, et aussi à ce fait qu'il a cherché directement les valeurs numériques des coefficients sans passer par une expression algébrique où les constantes seraient représentées par des lettres.

Delaiinay a fait tout le contraire, tous ses coefficients sont exprimés par des séries où figurent les différentes constantes du mouvement de la Lune et dont les coefficients sont des nombres rationnels exactement déterminés. Ces formules sont donc applicables, non seulement à la Lune, mais à un satellite quelconque (en le supposant unique). Il suffirait d'y substituer, au lieu des constantes relatives à la Lune, celles qui se rapporteraient à ce satellite. Il serait aisé également de voir immédiatement quelle serait l'influence d'une correction apportée à l'un des éléments de la Lune. La détermination des nombres rationnels qui servent de coefficients a exigé un travail énorme; si M. Andoyer a découvert

quelques erreurs, c'est seulement dans les termes d'ordre très élevé, et qui n'entrent pas en ligne de compte avec l'approximation habituelle des Tables. Ce travail algébr-ique est resté longtemps inutilisé et c'est seulement tout dernièrement qu'il a été réduit en nombres.

Brown a pris une position intermédiaire. Ses coefficients ne sont ni purement numériques comme ceux de Hansen, ni purement analytiques comme ceux de Delaunay. Ils se présentent sous forme de séries procédant suivant les puissances des divers éléments, le rapport des moyens mouvements excepté; les coefficients de ces séries sont calculés numériquement, mais ces coefficients ne sont plus des nombres rationnels, ce sont des fonctions du rapport des moyens mouvements, qu'on pourrait également développer en séries, mais dont on se borne à déterminer la valeur numérique. Comme, d'autre part, la méthode de Brown était beaucoup plus directe que les autres, il a pu pousser l'approximation beaucoup plus loir) que ses devanciers.

La méthode que nous exposerons ici est celle de Brown avec quelques modifications; c est elle, en effet, qui nous permet le mieux d'utiliser les résultats obtenus dans le Tome 1 et de rattacher ainsi la théorie de la Lune à la théorie générale du problème des trois corps.

312. Nous adopterons les notations du Chapitre II, Tome I, et nous renverrons en particulier au n" 42. Nous désignerons donc par

nii = m^ = m-i la masse de la Lune, oi4 = /n^=z nif, la masse du Soleil, /n7 = ms= in^ la masse de la Terre; par

.Ti, 372, x^ les coordonnées de la Lune,

^4, a^g, a?6 les coordonnées du Soleil, 3^7, 378, ^9 les coordonnées i!e la Terre;

par A, B, C les positions des trois corps : Lune, Soleil, Terre, par D le centre de gravité du système Lune, Terre; par

a;',, x'.,, x'.^ les trois projections du vecteur AC, x'-^ x'-, x'e. » BD.

Nous poserons

ni^m- ni'^i 7nx-\- m-)

, 771, = m~ =z THr =^

yi = mi

I dxi It''

■i \ m[ 77i^ m-^ / 1 \mi^ m^ m\

de sorte que T) représente la force vive de la Lune dans son mouvement relatif par rapport à la Terre, en lui attribuant fictivement la masse ?7i\, tandis cjue ïo représente la force vive du Soleil dans son mouvement relatif par rapport au point D, en lui attribuant fictivement la masse 7n',^.

Nous poserons en outre (voù^ t. I, p. 55)

/ni 771- mi{j7ly^ 771-)

"^'^^-KCT' ^-^^ HD '

U3= m,m, (b^ - Â^ ) + '"^"^^ (b^ - ^c, . F = T,-hT2+Ui-^U,+ U3=<ï'o+/ni*i (1), <î.o=T,4-U.,, m;*, = Ti+U, + U3.

Nous avons vu cjue U3 est comparable au -|-^ de T\ et de U, et au ,^„^^,)Q^^^ de To et de U2, ce qui nous permet de négliger U3 devant <ï>o.