Les écjuations du mouvement prennent la forme canonique

çte/ rtT dy'i dY

^^^ ~dt "dy,' ~^ ~ dx'i

Si nous faisons i^^f\i 5, 6, nous voyons cjue les dérivées de

(') Je trouve plus avantageux de poser

y ■= m\y" au lieu de

y'= 771, y", comme au Tome I.

T, + U) sont nulles, que celles de U3 sont négligeables devant celles de $0, de sorte qu'il reste

, , dx'i d^o dy'i d<^o ^ t a\

^'^ ~dr = 7yr -IF^-Tig^ (^ = 4,5,6),

ce qui prouve que le mouvement du Soleil par rapport au point D peut être regardé comme képlérien.

Si nous faisons /= i, 2, 3, les dérivées de <E>o sont nulles et il reste

,0^ dx'i , d<Pi dy'i • , <af*i

^'^ -dl = '''^ly/ 177=^-'"'^ (^ = i,'^,3).

Les seconds membres des équations (3) dépendent encore de x\, x'-^, Xy ; mais ces quantités étant déterminées par les équations (2) peuvent être regardées comme des fonctions connues du temps. Si on les remplace alors par leurs valeurs en fonctions du temps, les équations (3) se présentent sous la forme canonique, mais de telle façon que la fonction caractéristique <I>, dépende explicitement du temps (comme au n" 12).

D'autre part, si l'on veut éviter la présence du petit facteur mi, il suffit de poser comme au n" 121 (t. 1, p. 162) :

Les équations (3) restent canoniques et deviennent

dxi^^d^ dy'i d^\

^ " cit ~ dy'i ' dt ~ dx'i '

314. Il faut maintenant appliquer les principes des Chapitres X et Xll. Les résultats en ont été résumés en particulier au n" 177. On y voit que les éléments oscillateurs peuvent être développés suivant les puissances de |j. et des expressions

( 4 ) E/,. cos w'/,-, E/,. si n cva- ,

suivant les cosinus et les sinus des multiples des arguments tv", les coefficients des développements dépendant encore de n constantes d'intégration W/ (s'il y a /z + 1 corps).

Les E sont des constantes d'intégration de l'ordre des excentricités et des inclinaisons. Les arguments w' et w" varient propor-

6 CHAl'lTRi; XXIV.

tioniiellement au temps, et l'on a

w[\- = — y/,- 1 -+- TU/,-, w'î = n'i t -h Wi ;

les w et les w' sont des constantes d'intégration; les n' et les y' sont des constantes développaliles [cf. n" 179) suivant les puissances de Y- et des E-.

Nous avons vu ensuite au n'^ 19:2 que les coordonnées héliocentriques (ici géocentriques), c'est-à-dire x\^ ic!^, x'^, sont développables de la même manière, et qu'il en est encore de même de )', , y'.-,-, y^- Les développements prennent d'ailleurs la forme [cf. t. l,

(5, ' '^Amm2(y>.-^--j^p..'

les q, les k et les p étant des entiers et Ion a

dans les développements de x'^, ^g, y'.^, y'\.,

dans ceux de x\^ .r'^, x',^^ x'.^, y\, y'.,, y'.\i f'-^ {cf- n°^ i '^7 1^^? ^87 et 192, p. 328).

Nous n'avons que des cosinus dans les développements de

Nous n'avons au contraire que des sinus dans ceux de

(cf. n" 190 et aussi n" 192).

Le nombre des arguments (v' est de 4 ; celui des arguments w" de 2 (n" 193). Mais l'un des moyens mouvements y', est nul et iv',^ se réduit à une constante. Si d'ailleurs on prend le plan invariable pour plan des XiX.,, on a E^ ^ o, de sorte que l'argument i\\ ne figure plus dans les développements et qu'il ne reste plus que cinq arguments :

(8) ' iv',, w",,

Une nouvelle simplification provient de ce fait que la masse de la Lune étant très petite, le moLivement du Soleil par rapport au point D peut être regardé comme képlérien. Le plan invariable cfue nous avons pris pour plan des 57,^0 n'est alors autre chose que le plan de l'orbite solaire. D'autre part w'g, qui n'est autre chose, au signe près, que la longitude du périhélie de l'orbite solaire képlérienne, se réduit à une constante, et ii ne nous reste plus que quatre arguments distincts : (v, , cp',, (v", , (v!,, dont il est aisé d'apercevoir la signification : (v", est la longitude moyenne de la Lune, je ne veux pas dire la longitude moyenne sur l'orbite osculatrice, mais pour ainsi dire la longitude moyenne moyenne; (vl, c'est la longitude moyenne du Soleil; — w[^, c'est la longitude moyenne du périgée lunaire ; — w'.,, c'est [a. longitude moyenne du nœud.

De même E, est une constante qui joue un rôle analogue à l'excentricité lunaire; Enjoué le rôle de l'inclinaison; E3 joue le rôle de l'excentricité solaire, et nous pouvons même profiter de l'indétermination de cette constante E3 pour supposer qu'elle est précisément égale à cette excentricité solaire.

Dans les développements de

l'exposant de Eo et le coefficient de a'., seront toujours pairs. Ils seront toujours impairs, au contraire, dans ceux de

{cf. n" 191).

Si £3= o, c'est-à-dire si l'orbite solaire est supposée circulaire, nos développements ne dépendent plus de (Vg, mais de l'argument

kx W'\ -+■ A-, W\ -+-/»! W j -i-^2 HP2,

où l'expression

Ai-f- k^. — px—pi

est égale à zéro pour les distances mutuelles et pour ^r'g, et à i pour x\ et x'^.

Si de plus l'inclinaison est nulle, c'est-à-dire si £2^0, les termes dépendant de w'., disparaissent; on a donc ^', = o, et dans les distances mutuelles des trois corps figure seulement l'argument

kl w'\ -I- A'2 w\ -+■ pi w\.

OÙ

Elles dépendent alors seulement des deux arguments

et elles sont développables suivant les puissances de

El cos( w'o 4- M^'i ), E] sin ( tp'j -1- tv'j ).

C'est le cas du problème restreint.

Si nous revenons à l'hypothèse E2<o, £3=0, l'intégrale de Jacobi a encore lieu.