Nous avons posé plus haut (n

nous ferons d'abord observer :

i" Que U3 est beaucoup plus petit que T, -f- U| ; 2° Que T, et U) dépendent seulement des masses z??, et m-j et des coordonnées de la Lune, c'est-à-dire des inconnues x'^, x\^ x'^.

3" Que U3 dépend en outre de la masse ni;, du Soleil et des coordonnées du Soleil, qui sont des fonctions connues du temps et des éléments de l'orbite solaire.

D'autre part, comme AC est beaucoup plus petit que BD, on a {cf. t. I, p. 55) :

(9) U3^-m.2 im,^m,r ^"BD^'

P,i étant une fonction de l'angle des deux directions AC et BD, fonction définie Tome I, page 49? et la série (9) convergeant très rapidement.

Nous voyons comment U3 dépend des masses et des éléments du Soleil.

i" Il est proportionnel à /n,, ;

2° — 7- ne dépend que du rapport — ;

3" U:! dépend en outre des éléments de l'orbite terrestre, à savoir : de la longitude du périhélie — (v'j, qui est une constante ; de la longitude moyenne du Soleil — <v'.',, qui varie proportionnellement aui temps; de l'excentricité solaire, que j'ai désignée plus haut par E3, et enfin du demi grand axe de l'orbite solaire que je désignerai par al .

Voyons comment chacun des termes de la série (9) dépend de a . La distance AC ne dépend que des coordonnées de la Lune, le facteur V,i dépend d'un angle; il ne dépendra donc pas de «', mais seulement des autres éléments du Soleil. Quant à BD"+% c'est la puissance n -\- V"^" d'une longueur, il sera donc proportionnel à a'"+'. Le rapport ^y- sera indépendant de a'. Nous pouvons donc écrire

(10 j U3 = — m4> — i — ^ '■ ^ P„AC« — - —, -,

et comme tous les facteurs sauf le dernier sont indépendants de a', nous aurons le développement de U3 suivant les puissances décroissantes de a'. Le premier terme du développement (10) est