P,AG

/«] -I- m 7 de sorte que nous pouvons écrire

?ii\ ~ a'3 ^ ^" a'« '

Q„ étant indépendant de m^ et de a'.

Le facteur —7^ est petit, c'est lui qui joue le rôle de pi. D'ailleurs a' est une constante et notre fonction perturbatrice se trouve développée en une série très convergente procédant suivant les

puissances de — • Cette constante -7 pourrait donc aussi iouer le ^ a a ^ J

rôle de a; de sorte qu'en appliquant les principes précédents,

nous trouverions que nos inconnues peuvent se développer suivant

les puissances de

nii , I

—7- et de — r-

D'autre part, la troisième loi de Kepler nous donne ( ?n-, -I- /??,4 ) = a''^ ni,

M- = -rr = ni

Le second facteur est une constante connue; elle est si voisine de l'unité cjue nous pouvons prendre simplement

,'JL = n|.

Il semble donc que nous devions conclure que nos coordonnées

vont être développables suivant les puissances de ni et de — •

Mais avant d'adopter cette conclusion, il convient d'y regarder de plus près. <Î>| et U2 dépendent de /^o de deux manières :

i" Directement, à cause du facteur ij. = ~ qui affecte U3 ;

2" Indirectement, parce que U3 dépend en outre de w'.',, qui est égal à 712 1.

Pour pouvoir appliquer les principes du Chapitre X, il faut regarder /lo (en tant qu'il entre par (v".^) et [j. comme deux variables indépendantes. Dans ces conditions, nos développements procéderont suivant les puissances de u., mais les coefficients seront des fonctions des différentes constantes et en particulier de /i-,. Or nous avons vu que les intégrations introduisent des petits diviseurs de la forme k^ n\ -\- k-^n-^; l'un de ces petits diviseurs est précisément ll'y-

Considérons donc un terme quelconque du développement dépendant de ce petit diviseur c[ui est /«n; soit a l'exposant de a et jS celui du petit diviseur, de telle façon que notre terme contienne en facteur

ixy-n-j'=nf-'^.

L'expression a — - représente ce que nous avons appelé la

classe du terme, et nous avons démontré au n" 198 que cette classe était toujours positive ou nulle.

L'exposant 2 a — [i de «o ne peut donc pas être négatif, mais il n'y a pas de raison pour qu'il soit pair.

Ce n' est donc pas suivanL les puissances de n\ et de —, ([ue

nos développements procèdent^ mais suivant celles de n^ et

de —,• Nous verrons clans la suite, à la fin du Chapitre XXVIII,

qu'il peut même, mais seulement pour des termes d'ordre très élevé, s'introduire de petits diviseui's en n-, ou n^. Il en résulte que /lo pourra, dans certains termes du développement, figurer à une puissance négative.