Nous trouvons donc finalement
x' =^ f{nii, m-,, m:,; n,, Ei, Eo ; iv\, iv\, (p'^ ; a', E;j, wl, w'.^).
Nos coordonnées dépendent en effet des trois masses, des quatre arguments w'j, (ï\, , (v, , ce.,; des deux constantes d'intégration E( et Eo introduites plus haut; d'une troisième constante pour laquelle nous pouvons choisir le moyen mouvement /^^ ; des éléments de l'orbite solaire a', E3 et «''3.
Nous pouvons remplacer /??/, par a'^ /l'i et introduire une nouvelle constante a définie par
Alors mi et m^ sont des fonctions de — ^ et de n'',a^, de sorte
nii -T- ?n^ = n\ a\
[es lonctions ae que nous pouvons écrire
x' = f i — 5 a, ri], El, Eo, iVj, Wj, w'i, cv',, a', «a, E3, w'..
Il faut faire intervenir maintenant des considérations d'homogénéité :
a et a' sont des longueurs, de même que les x' ;
— et — sont des temps;
fil 712 ^
les E sont des nombres, ou du moins on peut profiter de l'indétermination de leur définition pour le supposer;
• — et les w sont des nombres.
Dans ces conditions, pour que la formule soit indépendante
des unités de longueur et de temps, on doit avoir
J.I ni a X = a f\ — » —7
•' \jii a
Je n'écris pas explicitement celles des variables qui sont des nombres. Nous poserons
/Il a
et comme nos expressions sont développables suivant les puissances de Ho et de — ;? nous vovons qu'elles le seront suivant les a •" ^
puissances de m' et de a; la constante m est le rapport des moyens mouvements; a est ce qu'on appelle la parallaxe.
On aura d'abord, en difFérentiant par rapport au temps,
m!^ dxi I dxi
Yi
m, dt nii dt
ni-i
et, par conséquent, par raison d'homogénéité,
yi= iiia j\ — , — ; 1 = n^a j{m , t.), \ni a j
et, d'autre part,
(i>i = nja^ /(m , et; —, -^ — ; — ; E3, w,, w\ . \ a n\a m-, " /
317. Il convient encore de faire quelques remarques au sujet de la symétrie. Nos développements procèdent suivant les puissances de
^ cos cos cos
m. a, El . HP,, Eo . w', E3 . iv\. sin sin - sin
et l'argument du terme général est
kl w\ -+- kl iv".T, -h piw\+ p^w'^-^- ps (jpj .
On a N^ k — \^/j==o pour ^3 et = 1 pour ^', et x'.,. D'ailleurs p2 est pair pour x\ et x'., et impair pour x'.^ ; d'où il suit que
ki^k-î — pi—p-i
GENERALITES SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. l3
est toujours impair. D'autre part, p-i est toujours de même parité que l'exposant de E3 ; donc k^-h ko — p\ — i est toujours de parité opposée à cet exposant.
Soit maintenant cjo l'exposant de la parallaxe a; nous voyons que la position du Soleil ne change pas quand on change
a', w'2, w'.^ en
a', w".T, -+- 7T, Wj -1- 7Ï.
Dans ce cas, les coordonnées du Soleil ne changeant pas, rien ne doit changer puisque, dans nos équations, a', w",, «''., ne s'introduisent que par les coordonnées du Soleil.
Or, dans ces conditions, un terme quelconque se trouve multiplié par
on doit donc avoir
çTo-H A-o + />:)= o (mod. 2).
D'autre part nous avons trouvé pour les trois coordonnées x\, x.,^ x'.^^ et par conséquent
Pour les distances mutuelles nous aurions trouvé
ki-+- ki — pi—pi — pi= o, p-2=o,
Ai-H ki — pi — pi= o, d'où
ki-^ Pi-i- go= "•.
Un peu plus loin (n" 320) nous poserons
ce = x\ COSW2+ ^'2 S'I^ "^2j
y = — x\ sin w.^ -H a^', cos w^.
On voit que si k-i est pair dans le développement de x\ eta:^, il sera impair dans celui de x et y et inversement. On aura donc, pour X et y^
et pour les termes indépendants de a et de E^, c'est-à-dire si
l4 CHAPITRE XXIV.
^0 =/>3 = o, on aura
