A-2 SS I

318. Nous allons donner une formule importante pour ce qui va suivre, et, pour l'établir, nous reproduirons à peu près le raisonnement du n" 120, en nous appuyant sur le théorème du n" 16. D'après ce théorème, si l'on a un système d'équations canoniques

f/ir dF dy dF

dt dy dt dx

et si les x et les y sont supposés exprimés en fonctions des constantes d'intégration a et du temps ;, on a l'identité

^Sx dy = dÇi ^^ >^ d% — F dt, OÙ Q est défini par l'équation

dt jmad dt jmd dx

et OÙ les A sont indépendants du temps et dépendent seulement des a.

Ici nous avons les équations (3 bis)

dx'i d<i>i dy] d<i>i

dt dy", ' dt dx'i

Elles sont bien de la forme canonique, mais $, dépend non seulement des inconnues x' et y\ mais encore du temps, ce qui nous oblige à appliquer l'artifice du n" 12. Si <ï>, dépend explicitement du temps, c'est par l'intermédiaire des coordonnées du Soleil, qui elles-mêmes sont des fonctions périodiques de l'argument (vv JNous introduirons donc deux variables auxiliaires u et v.

Nous pouvons écrire <i>, sous la forme

et poser

Nous avons alors, si nous voulons que u = w"., ^ n-^t -^ Wo,

du dF' dt ~ dv

dx'

dy"

dt

dy

dt

dx'

du

dV

dv

~dt

- dv '

dt

du

GENERALITES SUR LA THEORIE DE LA LUNIi.

et nous pouvons écrire les équations canoniques

ISous ajoutons arbitrairement la quatrième équation qui peut être regardée comme la définition de t'. Nous poserons d'ailleurs, pour unifier les notations,

(Vi = tv'î, «-"2 = ^l-,

(.Vg = w\ , ^4 = w'.2 ,

et, d'autre part,

(V;= /lit -f- TTJ/,

ce qui ne change pas la définition de /?|, /i-,, w, etmo.

Les équations restent canonicjues et F' ne dépend plus explicitement du temps; nous pouvons donc écrire

(12) ^ x' dy" -+- u dv = dQ -f- ^ A dy. — F' dt.

Mais

F' dt =(<Pi-^ «2 v) dt = <^i dt ^ v{ du — djs^ ),

ce qui nous permet d'écrire

(j3) 7 ^' dy" = d(Q — uv)-h > A dy. — *, dt -1- v dx^^^.

Quelles sont nos constantes d'intégration a? Nous avons d'abord m', E, et Eo, que nous appellerons les constantes [i: nous avons ensuite les constantes m qui figurent dans les arguments (v.

Le système (1 i) étant du huitième ordre, il y a une huitième constante, mais nous n'avons pas à nous en inquiéter, car elle n'entre que dans la variable parasite v. C'est la constante K cjui figure dans le second membre de l'équation

n-iV -i- <î>i =: K.

Quant aux autres constantes, ce sont celles du Soleil, elles doivent être regardées comme connues et non comme des constantes d'intégration. Parmi les sept constantes que nous conservons, nous distinguerons les m et les trois autres (m', E, , Eo) que nous

l6 CHAIMTRE XXIV.

appellerons les (B. Je puis écrire alors, en distinguant les coefficients de ces deux sortes de constantes,

V x' dy" = ci?( Q — at^ ) -H V A r/c7 -H V B (ip — *i «?/■ -t- p dm., et en posant

nous arrivons à la formule

(i4) "y ir'c/y = c?i)'-H V A i/Tu-h^B ^[i — <i>i fi[f^-H t' (fcT,.

La fonction Q' se trouve alors définie à une fonction arbitraire près des constantes j^ et w, par l'équation

Le second membre est une fonction des constantes ,3 et des arguments (T', périodique par rapport aux (v.

Désignons par H la valeur moyenne de cette fonction périodique, ce sera une fonction des [3 seulement. Nous pourrons alors supposer que

0" étant une fonction des [j et des tf, périodique par rapport aux w. La valeur moyenne de cette fonction périodique peut être choisie arbitrairement puisque ù' n'est définie qu'à une fonction arbitraire près des constantes, nous la supposerons nulle. Dans ces conditions 0" est fonction seulement des fj et des w. Nous poserons alors comme au n" 129

(16) y ^ vy - dQ" = y W/ dwi + y C/ ^p,-,

et nous reconnaîtrons cjue les W et les G sont des fonctions des [3 et des w, périodiques par rapport aux (v. Nous avons donc l'identité suivante en rapprochant les équations (i4) et (16)

(17) y Wf/i^-4-y Grfl3 — f/CHO^VA rfi0-+-y Brfj3 — *irf/ + Pfl?nj.. Cette équation doit devenir une identité quand on y remplace wi

*i= H y Wn,

W2= Ao+C,

par Tiit-^TxSi. Alors notre relation (l'j) peut s'écrire

^SN{jidt-^tdn^dm)-^^Cd^— Yi. dt - t dYi = "V A cfe -4- V B <r/[3 — *i dt + p.<iTi72, d'où, en identifiant les coefficients des diverses différentielles,

Discutons les équations (i8) et appliquons-leur les lemmes des jjos jQg g[ suivants. Si nous prenons d'abord l'écjuation Wj= A,, nous voyons que le premier membre doit être une fonction des [S et des (V, périodique par rapport aux w, et que le second doit être une fonction des fj et des m. D'ailleurs cette équation doit devenir une identité C[uand on j remplace iv par nt -^-m. Cela n'est possible que si W^- et A^- sont fonctions des {3 seulement (pour /=i, 3 ou4)- Si nous prenons maintenant la dernière équation (i8), nous verrons que le premier membre se compose d'une fonction C périodique des (P, et d'une autre fonction périodique des w multipliée par t; et le second membre d'une fonction B des [3 et des w et d'une autre fonction des [B multipliée par t. L'identité n'est possible que si l'on a séparément

'^ dn ^ d\{

G = B = fonction des j3.

On aura donc

(19) ' ^^Ndn = dR,

et, en i-approcliant de la première équation (18),

(20) rf<ï>l=— y 7i^W.

Nous remarquerons que dans la somme \ W c//i, le terme W2 (5?/^2 P. - II (2). 2

l8 CHAPITRE XXIV.

ne figure pas, puisque /ïo est une constante donnée et que par conséquent «://?o= o.

Nous avons dit que W). ^^ 3, ^\ 4 dépendent seulement des jS, voyons ce que nous pouvons dire de ^A o, nous avons l'équation

où Wo est une fonction des p et des iv périodique par rapport

aux cf, où

K étant notre huitième constante, tandis que $1 est une fonction des |3 et des w, périodique par rapport aux w; quant à Ao, c'est une fonction des huit constantes !j, m et K. Nous avons donc l'identité

(■2Ij /1.2 W-2-i- «î»! = «2 A.2-T- K,

dont le premier membre est fonction des |j et des cv, périodique en (V, et le second membre fonction des |3, de R et des zn. L'identité n'est possible c[ue si les membres sont fonctions des \i seulement. J'écrirai alors la première équation (18) sous la forme

( «2 Wo + *! ) -4- n , Wi -i- n. Ws -h ri; W^ = H,

où chaque terme du premier membre et le second membre sont fonctions des |j seulement.

Nous avons vu plus haut que quelques-unes de nos coordonnées sont des fonctions paires et d'autres des fonctions impaires des arguments

tv'j, ivl, w'i, (Pj, 1^3 .

Le dernier de ces arguments (ï\, est une constante que l'on peut regarder comme donnée une fois pour toutes; nous pouvons la supposer nulle, ce qui revient à prendre pour l'axe des ^, le grand axe de l'orbite terrestre. Dans ces conditions nos coordonnées seront des fonctions paires ou impaires des quatre arguments

Les fonctions suivantes seront paires :

, „ dx'.y dr'\ dy"., d£i!

' ^' ^ -' cit dt dt ' dt

dt dw div

Les suivantes seront impaires :

^2, ri. ^3.

dx\ dx'^ dy\ dt dt ~dt

dv" do.' 0', Q", C, B, .>% x'^, -^.

Ce que je voulais faire remarquer, c'est que C devant être indépendant des a- et en même temps fonction impaire des «•, devra être nulle, de sorte que nous aurons simplement

y a;' dy" — dQ" = Y W div,

et à cause des équations (i8) et (21)

(22) y X dy — dQ = 7 A, ««',— ',

où l'on a posé

de telle façon que les A' dépendent seulement des |5>.

319. De la formule (22) on peut déduire une série de formules importantes, que nous écrirons sous la forme

, dy" do!' ^ ~d^ ~~d^

, df rfi>"

yx^ j- =>^i 1 = 1,3,4),

^ak dwi dwi 7 ' -t/,

-^ , dv" dQ!' ,, «î»i j^ aivo dwn - «2

et, en particulier, pour la constante m',

'^ , dy" dQr Jmà dm' dm'

Mais, dans l'application de cette dernière formule, il faut faire attention à une chose; nous avons écrit plus haut (p. 12)

x'=af{m', ce), y"=n,af{m','x), P. — II (2). 2.

OÙ a = -7 • Il faut alors faire attention que x' et y" dépendent de m', non seulement directement, mais par l'intermédiaire de a qui est fonction de m'j et par l'intermédiaire de a qui est égal à — ;•

320. Axes tournants. — On peut avoir un grand avantage à rapporter le système à des axes tournants autour de l'origine avec une vitesse angulaire rio ', ces avantages ressortent déjà de ce que nous avons dit plus haut au n° 313; nous avons vu en effet que lorsque E3 = o, les équations du mouvement se présentent sous une forme particulièrement simple en employant ce système d'axes.

Il serait facile d'établir les équations du mouvement par des procédés élémentaires, mais il sera préférable de rattacher la transformation aux principes du Chapitre I. Je reprends les équations (11) du n" 318; d'autre part, pour me rapprocher des notations de MM. Hill et Brown, je désigne par x, y, z les coordonnées de la Lune par rapport aux axes tournants, de telle sorte que l'on ait

X = x'i cos u -+- x'2 sin u, y = — x\ sin u -f- x'^ cos u, z = a^j.

L'angle u est l'angle des axes mobiles avec les axes fixes; c'est donc iVi = w!^ = /lo ^ + HTo ; la lettre u a donc la même signification qu'au n° 318; je poserai ensuite

y\ = X cos u — Y sin m,

y\ =■ X sin a + Y cos a,

et enfin

Dans ces conditions on a

dx =

dx'^

cos M -1-

dx'^

sinw -h y

du,

dy =

— dx\

sin« +

dx'.

COSll

du,

et,

par

conséquent,

2, y d^' -\- V du ■

= X dx

dy -+-

Zdi

v' du.

Le changement de variables est donc canonique et les équations (i i) (p. i5) deviennent

av€c les équations qu'on déduit des premières par permutations circulaires de x^ y, z et de X, Y, Z. On a d'ailleurs

r = ; 1- n^y -f- ni{y^y — \x),

dx dY' dt ~ dlL'

dX dt ~

d¥' dx

du d¥'

dv'

dt ~ dv' '

dt ~

du

T'=vi;^"=v2^'

et les équations (aS) nous auraient donné

dx dy dz ^

dt "^ dt dt

dX ^'t' '^^'^'i du

dt dx dx dt ^'

en posant

^ = ^'m\' ^ n,(Xy-Yx), *', = <]. + ^ 2x^= F'- n,v'

Remarquons que nous avons

n.^(Xy — Yx)=n.(^-£y—-£x) — nl{x-^^y'-),

i2x^+-^(Xr-Y..)=i2(S)'-f'"'+->'^-^'

n, (Xy — Yx)= ru (y"^ x'.^ — y'[ x\ ).

La dernière des formules (24) nous fait connaître le sens du terme complémentaire n^Ç^y ■ — Y:f); il représente, au facteur constant près «25 la constante des aires dans le mouvement absolu.

Dans le cas où £3^= o, F' ne dépend plus de ^, JK, 5, X, Y, Z, et pas de u. On retrouve donc l'intégrale de Jacobi qui peut s'écrire

F'— njp = - yX -^ — 1 — + "2(XjK — Ya,-)= const.,

OU bien

' ni\ 2

Nous trouvons ensuite

\ jk" dx' == /\^ ^^^ — (^JK — Y x) du^

2^x' dy" = ^ xdH.-^i'Ky — \x)dii,

et, en rapprochant de la formule (22) et remarquant que u = ct^y

(25) yxdx-doj'=yAUhv^-^'''^'"',

en posant

<î'', = <&i -h 7x^ÇLy — Ya7) = F' — n=,y' .

D'autre part Q" est encore défini par

H étant une constante choisie de telle façon que la valeur moyenne du second membre soit nville. Il suffit en effet de se reporter à la formule (i5) et de remarquer que

■V , dv" X^ o^X , ,^ ^, ,

^ dt ^ dt ^ -^ '

32 J . Choix des constantes. — Il importe de comparer aux notations précédentes, celles qui ont été employées par Hansen, par Delaunay et par Brown. Delaunay emploie les arguments suivants :

D = w\ — w\ = Wx — w-i = distance moyenne Lune-Soleil, F = w\ -(- (^2 = «'i-i- «^4= distance moyenne Lune-nœud, / = w\ -f- w\ = (Vj-f- (P3 =: anomalie moyenne Lune, V = w\-\- w'o, = anomalie moyenne Soleil;

ou si (v''^ = o, comme nous t'avons supposé, /':= (v!, = (Vo = m, Hansen prend pour arguments :

Brown adopte les arguments de Delaunay, mais dans ses formules figurent plus habituellement les exponentielles imaginaires

11 faut aussi comparer comment sont notées les constantes qui correspondent à celles que nous avons désignées plus haut par «, m', E, Eo, E3.

La constante E3, excentricité du Soleil, est partout désignée par e' ; le rapport des deux moyens mouvements que nous avons appelé m' est désigné par Delaunay par m. Au contraire, ce que Brown désigne par m, c'est le rapport

n-2 m' mouvement sidéral du Soleil

/Il — /I2 I — tn mouvement synodique de la Lune JNous poserons comme lui

il est aisé de voir que m' peut se développer suivant les puissances de m et que, par consécjuent, toutes nos séries qui procèdent suivant les puissances de m' peuvent être développées suivant les puissances de ni] la convergence s'en trouve même augmentée, on verra plus loin pourquoi.

Les constantes qui correspondent à a, E, sont désignées par Delaunay et Brown par a, e; mais elles sont définies d'une manière différente. Pour Brown a est le coefficient de L^ = e'^ dans le développement de ,27 + iy^ et par conséquent celui de cosD dans celui de j?, ou plutôt a est défini de façon qu'il en soit ainsi, si l'on néglige E,, Eo et E3 ; pour Delaunay, a est défini par l'égalité

Wi -I- m-, = n\ a-^, ce qui vaut mieux.

Delaunay définit e de telle façon que le terme principal de l'équation du centre ait même expression que dans le mouvement képlérien; pour Brown, au contraire, e est le coefficient de asinl dans le développement de ^', sintv, — x'^co?,W\. Ici la différence est importante puisque le e de Brown est à peu près le double de celui de Delavinay.

La constante d'inclinaison qui correspond à E3 est désignée

par y par Delaunay et définie de telle façon que l'expression du terme principal de la latitude soit la même que dans le mouvement elliptique. Elle est désignée par K par Brown et définie comme le coefficient de ia siiiF dans le développement de z.

On voit que toutes les définitions de Delaunay font jouer le premier rôle aux coordonnées polaires, et celles de Brown aux coordonnées rectangulaires. Ces différences n'ont aucune importance, et l'on pourrait faire varier les définitions de bien d'autres manières sans rien altérer d'essentiel.

322. Il importe de se rendre compte de la grandeur de ces différentes constantes. On a sensiblement

K ou y ■= — ?

e = — (Brown) ou — (Delaunay), a =

10 20 -^ ' 4oo

Nos séries procèdent suivant les puissances de ces diverses quantités, mais il importe de remarquer que dans le coefficient d'un même cosinus, ou d'un même sinus, l'&xposant de e, e', K, a est toujours de même parité, de sorte qu'en réalité nos séries procèdent suivant les puissances de

m — — j e2 — ou - — , K-—- — •, e-=~-. — ?

12 100 400 400 3boo

Aussi la convergence sera-t-elle beaucoup plus rapide par rapport aux excentricités et aux inclinaisons C[ue par rapport à m qui joue le rôle du coefficient p. dans la théorie des planètes exposée au Tome 1. C'est le contraire de ce qui arrive dans le cas des planètes. Aussi convient-il de développer, non pas d'abord par rapport à l;., puis par rapport aux excentricités, mais au contraire d'abord par rapport aux excentricités et ensuite par rapport à m. C'est là la différence essentielle entre la théorie de la Lune et celle des planètes.

LA V(VRIATION.

323. Nous commencerons par déterminer les termes qui sont d'ordre zéro, par rapport aux excentricités, à l'inclinaison et à la parallaxe, c'est-à-dire par rapport aux E et à a. Ces termes ne peuvent dépendre de (v, , (v.,, tVj ; ils seront donc des termes en

. ( a:i Mfi -\- kf w, ).

sin

Si nous adoptons les variables x^y, z du n" 320, nous verrons d'abord que :; est nul puisque l'inclinaison est supposée nulle; d'autre part, d'après le n" 192, t. I, on a

iLnsuite, d'après le n° 490, t. I, x et Y ne contiennent que des cosinus, tandis que y et X ne contiennent que des sinus.

Enfin, d'après le n° 317, l'exposant de a étant nul, Ao doit être impair. En résumé le terme général dans x et dansjK sera respectivement en

ou cos(2A' + i)D, sin(2 A + i)D, en introduisant l'argument D de Delaunay (c/n° 321).

Pour former les équations du problème, il faut reprendre les équations générales établies au n'' 320 et y faire a = E3= o. Faire a = o, c'est négliger la parallaxe, c'est-à-dire réduire Us à son premier terme, ce qui donne

P2 étant Je polynôme de Legendre

On a d'ailleurs, puisque :; = o,

et puisque BD est parallèle à l'axe des x (l'excentricité E3 étant nulle et par conséquent le mouvement de B autour de D circulaire et uniforme), puisc|ue par conséquent y est l'angle de AC avec l'axe des x^

AG cosy = X, d'où, finalement,

Mais nous avons trouvé plus haut au n'' 320

F — n^V = i ■ h 7l2(AjK — \x).

Rappelons d'autre part que

d'où

Ui /?i| -t- m-i nX'^

m, AC a "

d'où enfin

F = n^y -\ — :; ni 1- fi^(^y — Y^).

Comme F' ne dépend pas de u, la variable auxiliaire v' se réduit à une constante et ne joue aucun rôle, et les équations canoniques (aS) du Chapitre précédent deviennent

I dx ^r dv ,r

—r- = A + II» y, -V- = Y — n^yX,

\ dt '-^ dt

dt AC« -^ ■•^

Mais les deux premières équations nous montrent que

d\ d'-x dy dY d'-y dx

~di ~ dV- ~ ^ -~di^ Ht ~ de- ' dt'

<iX ,, d-x dy

—j 71-, Y = -7 2 71=, -7 7li X,

dt ' dt- ~ dt

dX ^, d- y dx „

dt ^ dt"' ' dt -^

de sorte que les dernières équations (i) deviennent

d-x dy ^ ^ >ni -r- m-j

d'^y dx nix -+- m^

Ces équations peuvent être mises sous une autre forme; si nous posons

w'\ — tVj = D = T,

cela revient à changer l'unité de temps de telle sorte que l'argument de Delaunaj joue le rôle de temps. On a alors, d'après

le n- 321,

dz n=,

-77 = «1— «2= ^• dt m

Si alors nous posons

(/Il — lU)^

les équations deviendront

dy d-z

-Jm^x^^^3 o,

dx^

dx

-~ 2 ni —rd-z

Telle est la forme particulièrement simple que prennent les équations du mouvement de la Lune quand on néglige :

I " La parallaxe ;

2° L'excentricité solaire ;

3° L'inclinaison.

Le problème que nous proposons maintenant est de trouver une

solution particulière de cette équation ; à savoir celle qui correspond au cas où la constante E, est nulle. Comme nous venons de voir que x etjK sont développables suivant les cosinus et les sinus des multiples de 2D, ou de av, nous voyons que cette solution particulière est une solution périodicjue. Le problème a été entièrement résolu par Hill dans un Mémoire de tout premier ordre dont nous allons exposer les principaux résultats [American Journal of Mathematics, t. 1).

324. Équations homogènes. — Ainsi que nous l'avons vu au Chapitre précédent ces équations admettent l'intégrale de Jacobi, qui s'écrit

• \ \ l dx\'^- 1 dy\^~\ 3 7/12 ^ 7.

C'est d'ailleurs une combinaison immédiate des équations (3).

Ici /■ = y/:r-H-j-- désigne la distance AC.

Nous avons donc trois équations que je puis écrire en mettant

doc (]~ nr

x' et x^' pour -^ et —j^-, ce qui n'a plus d'inconvénient; nous obtenons ainsi

Entre ces trois équations nous allons éliminer x; nous trouverons

\ XX -\-yy -^ im(yx —xy)^ -{x'-^y'-)—- — - — = G, I yx — xy" — 2 m (j'y' H- xx ) — 3 m-xy = o.

La première s'obtient en multipliant les trois équations (4) par X, y et I, et la seconde en les multipliant par^, — a; et o et ajoutant.

On voit tout de suite que les premiers membres des équations (5) sont des polynômes homogènes du second degré par rapport à .37, y et leurs dérivées.

y nr

1 x" — un y' — S/n'^iT-T-^

< y -^ 2 7nx

j x'^-i- t'2 om- ^ y.

32o. Équations imaginaires. — Hill met encore ces équations sous une autre forme en introduisant les notations

u ^ X -^ iy, s = X — iy.

Elles deviennent alors

l US -^ a S — inii( us — su }^ u s — (u h- 5 )- = -xQ.

(6) ' / ' ' fa* — us — 2.nii{us -^ su ) {u^ — s-)=^ o ;

ces deux équations peuvent être remplacées par une seule

(7) us — 2mius H — ( 13 u--i- 18 us -i- 5s- )= C,

à laquelle il convient d'adjoindre son imaginaire conjuguée

(8) u" s -\- imisu' -, — (i5 5--!- 18 w* — - 3 ?<- t= G.

Il est aisé de vérifier en effet que les deux équations (6) ne sont autre chose que la somme et la différence des équations (■j) et (8).

326. Les équations (3) forment un système du quatrième ordre, elles conviennent pour l'étude des termes de degré zéro et pour les termes qui dépendent seulement de l'excentricité lunaire £,. mais sont indépendants de l'inclinaison Eo, delà parallaxe a, et de Texcentricité solaire E3. L'excentricité lunaire E, est l'une de nos constantes d'intégration ; si nous la supposons nulle, il ne subsistera que les termes de degré zéro, que nous nous proposons actuellement d'étudier. L'ensemble de ces termes de degré zéro représente donc une solution particulière de nos équations (3); comme ces termes dépendent d'un seul argument D ^ t, ils sont périodiques.

Le problème revient donc à chercher une solution périodique des équations (3).

Si Ton construit la trajectoire T du point x, y par rapport aux axes tournants, cette trajectoire sera une courbe fermée, puisque X ely sont des fonctions périodiques du temps. Comme x ne contient que des cosinus, et j' seulement des sinus; comme d autre part les développements de ^ et de ^ ne contiennent que des

3o CHAPITRE XXV.

termes dépendant des multiples impairs de x, les deux axes des x et desjK seront des axes de symétrie pour cette courbe fermée T.

En éliminant x entre les équations (4) et en regardant G comme une constante arbitraire, nous formons un système (5) ou (6), ou {'j) et (8) qui peut être regardé comme plus général, puisque ce système ne change pas quand on change x, y etC en Xx^ \y, A- G, en désignant par X une constante quelconque. Si une courbe fermée T satisfait aux équations (3), elle satisfera également aux équations ('j) et (8); mais ces équations {'j) et (8) admettront en outre pour solution toute courbe homothétique à T par rapport à l'origine.

Le problème a été entièrement résolu par Hill, ainsi que je l'ai rappelé dans mes Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (t. I, p. 9"). Pour les petites valeurs de //?, Hill trouve une courbe ayant la forme générale d'une ellipse, pour 771^1,78, il trouve une courbe avec deux points de rebroussement situés sur l'axe des X.

S'il avait poussé plus loin, il aurait sans doute trouvé une courbe avec deux points doubles symétriquement situés sur l'axe des^; puis ces deux points doubles se seraient confondus en un seul situé à l'origine, puis ils auraient disparu et la courbe T serait redevenue une courbe fermée sans point double mais parcourue dans le sens rétrograde. Mais les premières courbes déterminées par Hill ont seules de l'intérêt pour l'étude du mouvement de notre satellite.

327. Calcul des coefficients. — Voici à quoi revient la méthode de M. Hill, pour les petites valeurs de m. Au lieu des équations (3) envisageons les écjuations plus générales '

X — iPY P X m- X -\ r- = o,

(^bis)

, 3 „ ô „ XV y -h ipx p^y -\ — 77i^y -i ^^ = o.

En les traitant comme plus haut on en déduirait, au lieu de (y) et (8), les équations

{y bis) us" — ■ipius' -] ^ p^ us = — (i5u^-\- 3s^)-i-G,

(8 bis ) su!' -\- ipisu' ^ '■ ^p^us=i—-{ 3 m^-mSs^)-}- C.

LA VARIATION. 3l

Nous allons développer la solution suivant les puissances croissantes de m- ; une fois la solution obtenue, nous y ferons/» := m pour retomber sur les équations (3).

Supposons le problème résolu et posons

s •— = 5o + m- Si -i- )n*Si +. . .-1- m'^1 Sq

G = Co -t- w^ Cl + ni!* G, -+-... + m'^1 G,

Il s'agit de déterminer par approximations successives, d'abord Uq^ 5o, Go, puis «,, 5,, C|, puis u^^ 5o, C:>; ..., et ainsi de suite.

On prendra d'abord

Quand on aura remplacé dans ('y bis) et (8 bis) ;/, 5 et G par leurs développements (9), on trouvera dans le premier membre des termes de la forme

et d'autres d'une forme analogue où u^ovi ^p, ou tous deux, ont été remplacés par l'une de leurs deux premières dérivées. Dans le second membre on trouvera des ternies de la forme

OU de la forme

ou encore de la forme

TO^aGa.

Je suppose qu'on ait déterminé dans les approximations précédentes

Mo, Ml, .... jusqu'à M^i,

Go, Cl, . . . , » G^i,

€t qu'on veuille déterminer Uq^ Sq^ Cq. Egalons les coefficients de /n'-'J.

Dans le premier membre nous devrons retenir les termes qui

32 CHAPITUIÎ XXV.

contiennent m'-i en facteurs, c'esl-à-clire ceux où

Ces ternies ne contiendront que des quantités connues sauf ceux où c/. = q, ^ = o, ou bien encore ceux où a = o, ^ = q. Dans le second membre nous devrons retenir ceux où

ils ne contiendront que des quantités connues; nous devons encore retenir le terme in-^ dq qui est inconnu.

Les termes encore inconnus du premier membre de (7 bis) s'o]:)tiendront donc de la façon suivante ;q3renons par exemple le terme

je puis l'écrire

a/=«[5^^-']"=«ç-i[(50"-2i(50'+(5(;)]- Or, on a, par les développements (9),

Nous devons, d'après ce qui précède, retenir les termes tels que a -h |^ :=: ^; nous distinguons parmi eux ceux qui contiennent une des inconnues Sg ou itq] c'est-à-dire les termes tels quea:=zo, ^ r= q^ ou bien a= ^, jîi = o. Les termes à conserver sont donc les suivants (en rappelant que Mo = i , ^o = i , 5',, =: o, 8^=: o):

Sfj 2 l s q Sg llg.

Nous opérerions de la même façon âur les autres termes du premier membre et il nous resterait comme termes, contenant l'une des inconnues,

Conservons ces termes (10) dans le premier membre, et faisons

passer au contraire dans le deuxième membre tous les termes qui ne contiennent que des quantités connues; nous obtiendrons une équation de la forme

dO

\{sç, II,,) = ^^/-f- C^,^

Dans cette équation, A(5^, Uq) n'est autre chose que l'expression (lo); c'est donc une combinaison linéaire à coefficients constants de Sq^ Liq et de leurs dérivées. La fonction ^q est l'ensemble des termes connus qui se trouvaient dans le deuxième membre ou qu'on y a fait passer. C'est une fonction péi'iodique de t.

En opérant de la même façon sur (8 bis) on aurait obtenu

(12) -, ^\Sg, Ur,)

^'(sq, Uq) est l'expression