IS
ip
imaginaire conjuguée de ^{sq, Uq) et déduite par conséquent de A [sq, Uq) en permutant Sq et Uq et changeant i en • — i.
<ï>' est l'imaginaire conjugée de <ï>^ ; c'est donc une fonction connue et périodique de t, développable suivant les puissances positives et négatives de ^'- Pour passer de 4>y à $' , il suffit de changer^ en "C^"^ et de remplacer les coefficients numériques par leurs imaginaires conjuguées; nous verrons plus loin que ces coefficients numériques sont toujours réels et par suite que cette dernière opération est inutile.
Quoi qu'il en soit, nos fonctions inconnues se trouvent déterminées par les équations (11) et (12) qui forment un système d'équations linéaires à coefficients constants et à second membre.
Soient, par exemple, a, a' , ^ et y, les coefficients de "Q dans <ï>ç, <î>' , Uq et Sq] il s'agit de déterminer les coefficients inconnus ^ et ■r\ à l'aide des coefficients connus a et b.
Pour cela, les équations (i i) et (12) nous donnent
-Cf — 0]="'
p. — II (2).
Ces deux équations du premier degré nous donneront ^ et y;.
Le cas de /c = o mérite une mention spéciale; d'aJoord les premiers membres des deux équations (i3) deviennent identiques; ensuite il faut tenir compte dans les seconds membres du terme C^; les équations s'écrivent alors
Elles ne peuvent être satisfaites que si a = «'; or a et a' sont imaginaires conjuguées par définition; les équations ne peuvent donc être satisfaites que si a est réel ; nous verrons plus loin qu'il en est toujours ainsi.
Les équations (i4) nous donneront donc pour ç + "^ une valeur
réelle A; on prendra ç =:r| = -, de telle façon que \ et -^ soient
imaginaires conjuguées, et en même temps réelles.
La présence de G^ introduit une indétermination dans le problème. On peut supposer que la constante G est une donnée de la question; alors G ne dépend pas de m et l'on doit faire dans (i4) C^ = o.
On peut également s'imposer la condition que le coefficient de "C^ dans u et celui de ^~' dans s soient égaux à i . Ge coefficient ne dépendant pas de m^ on doit avoir ç = t] = o, de sorte que la première équation (i4) se réduit à
o = a -H G^, ce qui détermine G^.
328. Je dis d'abord que les coefficients de tous les termes du développement de a et de s seront réels. En effet, supposons que cela soit vrai pour
je dis que cela sera vrai pour Uq et Sq. En effet, si cela est vrai pour
cela sera vrai également pour
(i6) t«x, is'^, a"^, 4 (a<(7),
elpar conséquent pour les termes connus de (7 bis) qui sont tous le produit de deux expressions de la forme (i5) ou (16) affectés d'un coefficient réel.
Donc, dans le développement de O^ suivant les puissances de Ç-, tous les coefficients sont réels. Donc, dans les équations (i3) et (i4), les quantités a et a' sont réelles; or les coefficients de ces équations du premier degré (i3) et (r4) sont également réels; donc nous en déduirons pour ç et 'z^, c'est-à-dire pour les coefficients de Liq et Sq^ des valeurs réelles. c. q. f. d.
Je dis maintenant que nous aurons seulement dans Mq et Sq des termes en ^^ ; dansw, et 5| des termes en
dans Wo et 5o des termes en
dans u^ et s^ des termes en
et ainsi de suite. En d'autres termes, je dis que «s~' et s'C sont développables suivant les puissances de m'^'C^- el ni'^'C^~'- .
Je dis en effet que, si cela est vrai pour les premières approximations, cela sera vrai aussi pour l'approximation suivante. Je suppose donc que
"a, Sri. i'^<g)
sont des polynômes homogènes de degré a en <^- et l^~-, et je me propose de démontrer que Uq, Sq seront aussi des polynômes homogènes de degré q en ^-, "C^"-. D'abord les dérivées ;/«, etc., seront comme ««, etc., homogènes de degré a. Considérons maintenant les différents termes de *Pq] nous avons d'abord :
1" Ceux des termes du premier membre de (7 bis) qu'on a fait passer dans le deuxième membre parce qu'ils ne contenaient pas de quantité inconnue. Ils sont égaux à un facteur numérique près à
Ua. OU 5p pouvant être remplacés par une de leurs dérivées ; ce sont donc des polynômes homogènes de degré ^ en ^- et Ç~- ;
2° Les termes provenant de jj — ; ils sont de la forme
et par conséquent homogènes de degré q en J^-, X^~- ; 3° Les termes provenant de — ^ — ; ils sont de la forme
Xr^-s^so, (a-H P = ^r — i);
ils sont donc aussi homogènes de degré q.
Donc ^q est un polynôme homogène de degré q en ^-, ^"-. Mais Uq et Sq se déduisent de <î>^ par les équations (i3) ; les termes de Uq et Sq correspondent à ceux de ^q et contiennent les mêmes puissances de ^; donc iiq et Sq sont les polynômes homogènes de degré q en Ç-, X^"-. c. q. f. d.
Il résulte de là que, si l'on développe le coefficient de ^-^ ou ^~''*^ suivant les puissances de m, le développement contiendra seulement des termes où l'exposant de m prendra les valeurs
Ce développement procédera donc non pas suivant les puissances de m^ mais suivant celles de m'* . C'est ce qui explique la convergence extrêmement rapide du procédé de M. HiLl, chaque approximation donnant 4 ou 5 décimales exactes nouvelles.
329. Je dis maintenant que les coefficients ^ et t) calculés d'après les procédés précédents sont des fonctions rationnelles de p. Supposons en effet cjue cela soit vrai aux approximations antérieures; je dis que cela est encore vrai à l'approximation suivante. En effet, cela sera vrai des coefficients de ^q formés par multiplication en partant de ceux de u^^ s „ [a. <^ q) ] cela sera donc vrai des coefficients a et «'qui figurent dans les équations (i 3); les coefficients de ces équations (i3) étant rationnels en/?, il en sera de même des inconnues ^ et t), c'est-à-dire des coefficients
de Uq et Sq. c. Q. F. D.
LA VARIATION. 3j
Quels seront les facteurs des dénominateurs de ces fonctions rationnelles? Il est aisé de les déterminer. En effet, la résolution des équations (i3 ) introduit au dénominateur un facteur qui est le déterminant de ces équations, lequel est égal à
Les facteurs du dénominateur seront donc les poljnomes
où l'on devra donner à k les valeurs paires successives
ce qui donne les polynômes
Si donc on développe le coefficient de ^^A+i suivant les puissances de m, le coefficient de chaque puissance est une fonction rationnelle de p dont le dénominateur est un produit de facteurs de la forme (17), chacun de ces facteurs pouvant être élevé à une puissance supérieure à i . 11 ne faudrait pas en conclure pourtant que le coefficient de 1^-^+* , considéré comme fonction âe pet de m, est une fonction méromorphe de ces quantités, ou encore qu'il se réduit à une fonction méromorphe de m quand on fait/? = m.
329 bis. Quoi qu'il en soit, l'approximation par ces méthodes est extrêmement rapide. M. Hill a calculé les coefficients ou plutôt leurs rapports avec i5 décimales; la première approximation lui donnait généralement 6 décimales exactes, la seconde 11 et la troisième i5. D'autre part, la décroissance des coefficients est aussi très rapide; dans le développement de m, par exemple, les coefficients de ^, ^*, ^^, ••• diminuent très vite, chacun d'eux étant environ la trois-centième partie du précédent. Le coefficient de ^ qui est naturellement le plus grand nous donne le terme principal de l'orbite non troublée; viennent ensuite ceux de ^^ et de i^~^ qui
correspondent à l'inégalité considérable connue depuis la fin du mojen âge sous le nom de variation.
Les valeurs numériques sont donc très exactement connues; mais nous ne possédons encore que les rapports de nos coefficients; les équations (7 bis^ et (8 bis^ contiennent en effet une indéterminée C, et nous avons profité de cette indétermination pour su[)poser que le coefficient de s dans w, de même que celui de 'C~ ' dans ^, est égal à i. Cela revenait à satisfaire aux équations (i4) en
faisant
C'est ainsi que nous avons opéré à la fin du n" 327. Nous avons ainsi trouvé une solution particulière des équations {-] bis)
et (8 bis)j
caractérisée par ce fait que, 'h et 'h^ étant imaginaires conjuguées, le coefficient de "(^ dans <!/ (X^) est égal à i. Alors nous aurons une autre solution en faisant
à la condition de changer l'indéterminée C en ajjC. 11 reste à déterminer «o-
Pour cela, il faut (après avoir fait /> = m) revenir aux équations primitives, qui peuvent s'écrire
u -\- 1 mi II jn^ (u -i- s) H = o,
et voir quelle valeur de «o correspond à la valeur donnée de x. Pour cela soit
il viendra pour t= o, ^ ^ i :
r = u — s = «o^«Â- = «0 4^ (' )) u' — ia^i 2i 2/1 + 1) «A:, «" = — «0 2J- 2 /"^ -t- I Y ak-
Les coefficients ak étant connus, on connaît donc facile-
LA VARIATION. Sg
ment (|> (i), '^(i), '\'"{i), et il vient
(i8) a3(|;2(,)[^"(,)^2mf<];'(0— 3m2<];(i)] = x,
d'où l'on tirera sans peine «o-
330. On voit facilement que la résolution de l'équation (i8) entraîne l'extraction d'une racine cubique. Nous devons donc nous attendre à trouver que, dans le voisinage de certaines valeurs singulières /?Zo, l'expression de Oq et par conséquent celle des autres coefficients de u qui sont aoUf, a^ a-i, ■■., contiennent en fac-
teur (m — nio) "* ou (m — ''^0)^5 pai" exemple.
C'est en effet ce qui arrive pour m^ = i .
Supposons donc qu'on veuille développer ciq suivant les puissances de m; alors la convergence sera comparable à celle d'une progression géométrique de raison
m niQ
nif, étant le point singulier le plus rapproché; si ce point est i,^ puisque /?? = —, cette raison sera
Si l'on avait développé suivant les puissances de
comme l'a fait Delaunaj, la raison aurait été
m! n tn'f, i3
donc notablement plus grande.
On arrive au même résultat en ce qui concerne le développement de a, ; le point singulier le plus rapproché provient avant tout de la présence du facteur p"^ — 4/* + 6 dans nos dénominateurs [cf. n" 328 in fine)] dans ce facteur on fait p = m, de sorte que l'on a à peu près
?nl — 4 '"0 -1- 6 = o,
CHAPITRK XXV.
I '«0 I = v/6 et, pour la raison de la progression,
nia
\i v/fi
avec m' , on aurait eu
et, pour la raison,
On voit combien il est plus avantageux de choisir m comme paramètre au lieu de m'. Naturellement la même différence se retrouve dans le calcul des termes suivants, puisque les nouveaux développements que l'on obtient pour ces termes se déduisent de ceux que nous venons d'obtenir pour les termes d'ordre zéro.
330 bis. Une solution particidière remarquable s'obtient en faisant X == o; on trouve alors
a, 8 et k étant liés par les relations
a ( — k^— ipk — -/>'■) — 7 P '«" = o,
a ni^ = o,
d'où
(k^-^lp^'-ip^k^-lm^=o, ou, en faisant/? = m,
Pour que cette solution nous convienne, il faut que k soit entier impair, et par conséquent que l'on ait
/n = i^ /« = 0^ ni = '),
LA VARIATION. 4l
La courbe décrite par le point x^ y se réduit alors à une ellipse. Mais cela correspond à x := o, c'est-à-dire, en se reportant à l'équation (i8), à
4^2(i)[4;"(i)-+- 2mi4^'(i) — 3/?iî4;(i)] = o.
Si alors on donne à x une valeur donnée finie, il faut faire a^ = a?.
Donc, quand m se rapproche de la valeur i, la trajectoire T du point X, y tend à être de plus en plus semblable à une elJipse, mais les dimensions absolues augmentent au delà de toute limite; c'est de cette façon que s'introduisent dans «o des facteurs tels que
ainsi que nous l'avons expliqué plus haut.
L'ellipse à laquelle on parvient en faisant m = 3, m = 5, etc.,
ne fait pas partie de la série de solutions que nous envisageons ici,
