Il s'agit donc d'intégrer l'équation (i

Cette équation est de même forme que celle que nous avons examinée au Chapitre XVII des Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste. Nous savons donc :

1° Que cette équation admet deux solutions particulières de la forme

(2) z = e'>T^<L(T), z = e-is:'^<\>{—'z),

(|'(x) étant une fonction périodique de la forme

où k prend toutes les valeurs entières positives et négatives.

Nous devons remarquer en effet que l'équation (i) ne change pas quand on change t en — t; l'existence de la première des solutions (2) entraîne donc celle de la seconde.

.2° Nous aurons ensuite les deux solutions

MOUVEMENT DU NCMEUD. 45

dont la première est une fonction paire et la deuxième une fonction impaire de t.

Nous pouvons achever de déterminer '|'(t) (qui n'est encore déterminé qu'à un facteur constant près) et la constante X, de telle

sorte que

/(o) = o, /'(o)=i, c'est-à-dire

3*^ En vertu d'un théorème démontré dans mon Mémoire Sur les groupes des équations linéaires [AcLa mathematica, t. IV, p. 212) et rappelé dans Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (t. II, Chap. XVII, p. aSo), la fonction F(t) considérée comme fonction des %k est une fonction entière.

Nous trouverons alors

k variant de — oo à + oo-

La fonction 'i'(T) est périodique de période tï, de sorte que l'on a

(3) i];(7t) = d;(o) = --, F(7r) = cos^Ti.

333. L'équation F(7ï) = cos^-rr a une grande importance; c'est elle en effet qui va nous permettre de déterminer g^ c'est-à-dire le mouvement du nœud.

En effet, la solution générale de l'équation (i) peut s'écrire

z = E2F(T4-nT4),

E2 et Tîî/, étant deux constantes d'intégration, la première représentant la constante d'inclinaison, et la deuxième la constante W4 qui figure dans la formule du Chapitre XXIV,

Si nous faisons en effet s; = '*- — . on voit que la formule pré-

46 CHAPITUE XXVI.

cédente peut s'écrire

OÙ nous reconnaissons la forme des formules du Chapitre XXIV. (Il

suffirait de changer la constante arbitraire ^4 en cj^ H > pour avoir

un sinus au lieu d'un cosinus .)

Cela posé, les passages au nœud s'obtiendront en faisant s = o; le terme principal du développement étant

les passages au nœud ascendant auront lieu sensiblement pour

Dans l'intervalle de deux passages au nœud consécutifs, la différence des longitudes moyennes de la Lune et du Soleil aura augmenté sensiblement de — ^; si l'on considère n + 1 passages consésécutifs au nœud ascendant, cette différence aura augmenté

sensiblement de , et cela d'autant plus exactement que n sera

plus grand. Donc g mesure le moyen mouvement du nœud.

334. Pour calculer F(':), voici comment nous allons procéder. Posons

et écrivons l'équation (i) sous la forme

puis cherchons à développer F(t) suivant les puissances de 0), ©oj etc.; le développement sera très convergent, puisque nous avons vu que ces coefficients sont très petits, et d'autre part que F('r) est une fonction entière de ces coefficients.

Représentons alors par ^o? ^n . . . , ^/r les termes de F(t) qui sont de degré 0,1, . . . , k par rapport aux coefficients 0( , 60, ... ; nous aurons, pour déterminer successivement

Zt), Zif . . . , Z/,-, . . . ,

aiOUVliJIENT DU NOEUD. 47

le système d'équations

z'[^ q^Zi = (Q,,— &)Zo, )

z%-^ q^-Zk= (00—0)5/1—1.

Ce sont des équations linéaires à coefficients constants et à second membre, immédiatement intégrables; il faut, pour achever de définir Zq^ Si, ..., za, se donner les conditions initiales qui seront

Zo— I, ^0=0, ^1 = ^', = 0, ..., z,c = z',,= o.

Nous trouvons d'abord