COS^T
et pour Zk une expression où figurent des termes en
(6) cos(2y -+- ^)-c, 'i:2F-+isin(2y -h ^)'i:, ■z'^V-co?,{'ij ^ q)x,
j et a étant entiers et api. + i étant au plus égal à k.
En eftet, il est aisé de vérifier que, si cela est vrai pour 5^. , , cela sera vrai également pour Zk-
Ainsi le terme général du développement de F(t) sera de la forme (6); il est aisé d'en apercevoir la raison : nous avons trouvé
F(^) =^y^b j co^ { g -^-ij y..
D'autre part, g est développable suivant les puissances de ©i, ©2, ... et se réduit à q pour 0, = 0o ^ . . . = o. Je puis donc écrire
^ {^) =^^bjCO%\iq -^ -xj)-. -^ {g — q)x]
et développer suivant les puissances de g — q; soit alors
cos'i:='Vaj;.'u2H., sinx = ^ Pjj.x^H'+i,
les coefficients ct.^ et ^^ ayant les valeurs numériques bien connues;
il viendra
On peut ensuite développer les bj et les puissances àe g — q suivant les puissances de 0, , ©2 . • • , et l'on devra retrouver le même développement que par le moyen des équations (5). On voit que le terme général est bien de la forme (6).
335. Voyons comment on peut se servir de ces développements pour déterminer g et les coefficients bj. Supposons que l'on ait déterminé
^0, -Si, . • . , -3 A; ;
on a donc, à des quantités près de l'ordre de m2*+2^
et F(t) se présente sous la forme d'un développement (7) dont tous les termes sont de la forme (6).
Dans ce développement, conservons seulement les termes périodiques purs en cos{q -h 27')':, ceux où t ne sort pas des termes trigonométriques; les coefficients de ces termes seront précisément les coefficients fty cherchés, au même degré d'approximation, c'està-dire à des quantités près de l'ordre de /«-*+-; et en effet ao est égal à I .
Pour déte-rminer g nous calculerons F(t:) en faisant t = ît dans le développement (7) et nous aurons ensuite g par l'équation
F(7r) = COS^TT.
En faisant cette substitution on trouve
F(t.) — Hcos^TC + H'sing-TT,
H et H' étant des fonctions entières de 0,, ©25 ....
D'autre part, les coefficients de ces fonctions entières seront des fonctions rationnelles de q; car, si les coefficients de Zk i dépendent rationnellement de q, il en sera de même, en vertu des équations (5), des coefficients de Zfc.
Les premiers termes sont
r Ti^et ]
Quand on change t en t + 7 > 0 , , ©3 , 0g , ... changent de signe ;
la valeur de cos 0-7: ne doit pas changer. Donc, dans le développement de F('n:), 0,, 03, 0^, . . . entreront avec un exposant pair. Supposons un instant
alors 0 admettra la période - : alors, quand on changera t en t + - ? ^ 2 ^ ° 2
changeront de signe; donc 00, 0c, 0)0, •■•ne pourront figurer qu'à un degré pair, à moins d'être multipliés par
&\, ei, ..., 0103, 0,05, ...• De même
ne pourront figurer qu'à un degré pair, à moins d'être multipliés par
0f, 0|, ..., 0103, ..., ei @i, .,., 0,05, ....
336. Méthode de Hill. — Hill ramène le problème à la résolution d'une infinité d'équations du premier degré à une infinité d'inconnues. On pourrait se demander si cette méthode est suffisamment rigoureuse; elle peut être complètement justifiée, mais je renverrai pour cette justification aux Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (t. II, Ghap. XVII, p. 260 et suiv.).
Faisons dans l'écjuation (i)
il viendra
p. - II (T) 4
5o CHAPITRE XXVI.
ou, en égalant les coefficients de ^-J'^^,
(8) [eo-(ay-f-^)2J6y+y]ey A.6A=0.
On obtient ainsi une infinité d'équations linéaires entre les inconnues bj] pour les déterminer, considérons les expressions linéaires
Ces expressions doivent s'annuler pour ^ = g'. Formons leur déterminant et appelons-le D (ç).
Je suppose pour cela que l'on donne kj et à k toutes les valeurs entières positives et négatives depuis — [j. jusqu'à -f- ^x inclusivement. Nous aurons alors un déterminant fini de 2 u. H- i lignes et de 2u. -h 1 colonnes. Alors D (H) sera par définition la limite de ce déterminant quand |jl croît indéfiniment.
Ce déterminant converge; nous pouvons remarquer en effet cjue les éléments de la diagonale principale sont égaux à i.
Dans ces conditions, on a
en désignant par a les divers éléments du déterminant autres que ceux de la diagonale principale. Le déterminant convergera donc
avec %^|a]; c'est ce que démontreraient les considérations exposées au Tome II des MéLhodes nouvelles (loc. cU.). Or ici
Or cette série converge absolument et uniformément, sauf si
ou, puisque 0o= (]'•, si
Donc n (ç) = limA existe; c'est une fonction de ç qui ne change pas quand on change ^ en ^ + 2 ou en — ç ; cela revient en effet à changer l'ordre des lignes et des colonnes de notre déterminant d'ordre infini, soit en faisant avancer toutes les lignes et toutes les
MOUVKME.NT DU NOEUD. 5l
colonnes d'un rang (si l'on change ^ en ^ + 2), soit en retournant le déterminant (si l'on change ^ en — i); on aura donc
n (i) est donc une fonction méromorphe de ^, qui a pour pôles simples
Je àX% pour pôles simples ; en effet, les éléments de lay"^*^""^ ligne seuls deviennent infinis pour ^ = — 2j ±q el infinis du premier ordre.
Or un tenne quelconque de notre déterminant ne peut contenir €n facteur qu'un seul élément de la y'"""' ligne.
Quand la partie imaginaire de ^ tend vers l'infini, tous les éléments en dehors de la diagonale principale tendent vers o; donc
limn(0 = i.
Soit
COSTIÇ COSTT^
Cette fonction est méromorphe; elle ne pourrait devenir infinie •cjue pour
$ =-'lJ±q,
qui rend D(i) infini, mais qui annule également costcH — cosruj^ ou pour
qui annule le dénominateur cos — ^ — costc ^-^ mais qui annule également n(i) puisque nous avons vu que
■et par conséquent
La fonction F(^) est donc entière, mais elle tend vers i quand la partie imaginaire de i tend vers l'infini ; elle se réduit donc à l'unité, de sorte qu'on a
COSTlf — COSTCg'
52 CHAPITRE XXVr.
On peut en déduire plusieurs manières de calculer g\ par exemple, à l'aide de l'équation
(9) cosTT^ = I — 2 sin^ -^ n(o).
337. ïl est aisé de voir quelle est la forme de notre déterminant. Supposons qu'un terme du développenaent contienne comme facteur l'élément de la a'''""' ligne et de la b'"'"^ colonne et, par conséquent, ©«/,; il devra contenir un élément de la ^'^'"'' ligne, soit celui de la c'^""^ colonne et, par conséquent, ©i-cj il devra contenir ensuite l'élément de la c'^""^ ligne et delà <i'^"'^ colonne, c'esl-à-dire %c-d-, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on retombe sur la ût"^"^ colonne, ce qui arrivera, par exemple, si l'on trouve un élément de la (^'^""^ ligne et de la a'^""^ colonne dépendant de 0rf«.
Donc le terme envisagé contiendra en facteur le produit
ou un produit analogue, ou plusieurs produits analogues.
Dans tous les cas la somme algébrique des indices doit être nulle.
Si l'on observe que
et que par suite on ne fasse pas attention au signe des indices, nous dirons que les indices, tous regardés comme positifs, doivent pouvoir se diviser en deux classes de telle façon que la somme des indices de la première classe soit égale à la somme des indices de la deuxième classe. On pourra avoir par exemple des termes en
Le coefficient de chaque terme se présente sous la forme d'une série infinie, mais toutes ces séries peuvent être sommées à l'aide de la formule
