cota
Considérons, en effet, un terme du développement; ce sera le produit de certains éléments du déterminant; parmi ces éléments, les uns appartiendront à la diagonale principale et nous n'avons pas
à nous en occuper, puisqu'ils sont égaux à i ; les autres n'appartiendront pas à cette diagonale, et ils seront en nombre fini (sans quoi notre terme contenant en facteur m à une puissance infinie serait infiniment petit).
Appelons [/, A] l'élément de la i'*^™^ ligne et de la /r'^""^ colonne, et supposons par exemple que le terme envisagé soit le produit des éléments
Il contiendra alors en facteur, comme nous venons de le voir, le produit
(il) ^a-b^b-cQc-cl'^d-a'àa'-b'^b'-e'^c'-a',
et le coefficient de ce produit (ii) sera vme fonction rationnelle de ^ que j'appelle R(i).
Considérons maintenant le terme
il contiendra également en facteur le produit (ii), mais avec le coefficient R(^ H- a/i).
Le coefficient définitif sera donc
Pour évaluer cette somme, décomposons la fonction rationnelle R(ç) en éléments simples :
^^'^^=^ér-.-
Zd ^^ '^"'^ Âà^^-\--xn —
La sommation par rapport à n peut se faire par le moyen de l'équation (lo). Si dans la décomposition de R(i) figurait un terme
on obtiendrait la sommation par rapport à n de
en dlfrérentiant l'équation (lo).
En fait notre fonction R.(i) n'admettra pour pôles, comme nous l'avons vu plus haut, que q = — 2j±qel ces pôles seront simples ; l'application de la formule (lo) introduira donc seulement
,t{^^-^^l^^y.=±coi^a±rj),
Cela s'applique au cas où nous n'aurions en facteurs qu'un seul produit de la forme
0a-6 0/)-f 0f-r/ 0rf-a.
Dans le cas où l'on aurait en facteur deux (ou plusieurs) produits de cette forme, comme il arrive, par exemple, dans le cas du produit (i i), les choses seraient un peu plus compliquées.
Supposons que nous ayons à envisager le produit des éléments
et que nous fassions varier n et /«', en supposant que a, b^ a' ne varient pas.
Nous aurons alors partout en facteur le produit
qui ne dépendra ni de /î, ni de //; ce produit sera multiplié par un coefficient qui dépendra de ç, de n et de n et qui sera de la forme
R(^ + «)R'(ç + n'), R et R' étant rationnels. Nous aurons donc à calculer
en donnant à /i et à n' toutes les combinaisons de valeurs possibles, en excluant seulement celles pour lesquelles la différence n — //' prend certaines valeurs particulières; car une des quantités //, n + rt, n -\- b, ne doit pas être égale à une des quantités n', n' -\- a' .
MOL'VEMKNT nU NtaîUD. 55
Supposons que a,, ao, . . . , a^ soient les différentes valeurs que ne doit pas prendre ii! — /? ; l'expression à évaluer,
pourra s'écrire
où
Chacune des sommes qui figurent dans cette expression est de
la forme ^I^(i + '^) et peut s'évaluer comme nous venons de
l'expliquer.
On peut voir que D (i) est de la forme
n(^^ = A+ B cot^(t + (^)-^Ccot^(ï — ^7) (12)
A, B, C, D étant développables suivant les puissances de 0|, 025 • • . 7 et les coefficients de ce développement étant des fonctions rationnelles de q.
Nous avons trouvé, d'autre part,
COST^ — COS -g
et
F(:r) = cosT^= H cos^/tt -+- H' sing'Tr,
H et H' étant comme A, B, C, D des séries procédant suivant les puissances de 0, , 00, ... ; et avec des coefficients rationnels en q.
On a donc
^,v (i — H ) cos^TT — H' sin^TT
cos-f — cosTzg
Il suffit pour retomber sur le développement (12) de remplacer
/ y COS
(COSTTS — COSTIfir), . g TZ
^ sin ^
par
.sm-(^ + ^)s,a-(^-5r), ^.^ [^- (^ + ^) (^ ^ )J ,
■de façon à tout exprimer en fonction des lignes trigonométriques des deux angles -(^± q).
338. Il reste à déterminer les coefficients 6/,. Pour cela reprenons le déterminant D(i) et remplaçons-y dans la ligne de rang zéro
par des indéterminées
..., ^—2, ^—1) ^Oi -^l) •••■>
le déterminant continuera à converger pourvu que les indéterminées soient limitées (cf. Méthodes nouvelles, t. II, Chap. XVII, p. 205). Il sera de la forme
A = . . .-1- B iir i 4- Boa^o-H Bjo?! -f- B2a72-1-- • • ,
les B étant des fonctions de ^, qui admettent les mêmes pôles simples que D (i) sauf ^=± q; de telle sorte que
By(cos-n:^ — cosTrg')
est une fonction entière.
Je dis que, pour \^= g^ on a B^= ^y^.; il suffit pour cela de démontrer que les B^f satisfont aux équations (8), c'est-à-dire que A s'annule quand on j remplace Xj par i et Xh{j^k) par
C'est ce qui arrive car, pour y ^o, on obtient ainsi un déterminant ayant deux lignes identiques; et, poury = o, on obtient le déterminant n (^) qui est nul. C. Q. F. D.
339. Nous pouvons nous rendre compte de l'ordre de grandeur des coefficients b^. Pour cela reprenons les équations (5) et cherchons à former à l'aide de ces équations non plus la solution F(t), mais la solution
Z = e^g^ (]; (x ) = V è;t Çg-'t-î-t.
Nous observerons alors que ©o — ® est développable suivant les
MOUVKMIÎNT DU NCffiUD. 5y
puissances de m, r?i'-Z,^, m-^~-; et je dis qu'il en sera de même de z^-ff.
Si l'on intégrait les équations (5) par approximations successives, on verrait, par une analyse toute pareille à celle du n° 334, que z se présente sous la forme suivante,
de sorte que z^^'i est développable suivant les puissances de m, de T, de ^- et de ^~-; je me propose d'établir que ^(i^"^ est développable suivant les puissances de m, t, m-^'-^ m-'Cr'^; cela peut se démontrer par récurrence, car les équations (5) montrent que, si cela est vrai pour 3/r, , cela le sera également pour z^.
De cela il résulte que bh contient en facteur ?n*^', ce qui montre que les coefficients bh doivent décroître rapidement.
340. Nous avons vu cjue g définit le mouvement moyen du nœud, mais nous n'avons qu'une première approximation.
En effet nous avons négligé E,, Ej, a et le carré de Eo.
Le véritable mouvement du nœud peut, d'après le Chapitre XXIV, se développer suivant les puissances de
et g{n^ — /?2) ne nous donne que les termes de degré zéro de ce développement.
341. Je suppose qu'on ait un système quelconque d'équations différentielles; pour simplifier, je supposerai deux équations seulement et deux inconnues x et y^ et j'écrirai ces deux équations sous la forme
F (37, jK, x\y\ x\y\ aj, a,) = o, Fi(a7, jK, x\ y, x\y\ a,, a,) = o,
OÙ ai et aa représentent deux paramètres très petits.
Je suppose qu'on sache trouver une solution particulière S des équations (i) en supposant a, = a^ = o; je me propose d'en déduire, pour les petites valeurs de a, et de a^, tontes les solutions peu différentes de la solution S (il y en aura évidemment si a, et a^ sont très petits).
Je me propose de développer ces solutions suivant les puissances des paramètres a et de certaines constantes d'intégration 3, , [io, [^3, [3^ qui s'annulent pour S.
Nous connaissons déjà les termes de degré zéro de ce développement et nous voulons déterminer successivement les termes de degré i, de degré 2, etc.
Soient X = ^-'o, y = jKo la solution S et posons
X = ^ F(a7o, jKo, •^'-'c/o, ^ô.yi, o, o),
cette dérivée étant calculée en regardant x^, yo-, x'^^ y'^, x"^^ y'^^ comme des variables indépendantes,
dF
dXr.
dF
Al
~ dx()
MOUVKMENT DU PÉRIGÉK. 59
Supposons qu'on ait trouvé le développement exact jusqu'aux termes du ^"^'"<' ordre inclusivement et soit
X = Xk, y = yk
ce développement; si nous substituons ce développement à la place de X et de K dans les équations (i), les premiers membres devront s'annuler aux quantités près du (/c + lyème ordre. Donc
seront des fonctions connues dont le développement commencera par des termes d'ordre A" -r- i • Soient maintenant
X = x/,+ 5x, y = JA-+ oj,
et supposons que nous voulions calculer o.v et ojk jusqu'aux termes du (A- + 1)'^™" ordre inclusivement et en négligeant ceux du {k H- 2)'*=™^ ordre.
F(x,y) = F(ir'.+ Sa", JA-+OJK)
pourra se développer par la formule de Tajlor, sous la forme
Les termes en ùx- (de même que ceux en oxùy^ oxox'^ etc.) sont négligeables, car ox'-^ est d'ordre •2k -+- 2. Dans le coefficient de ùx, nous pouvons faire
X = xo, y =^ yo, a, = a-, = o.
Cela donne une erreur du premier ordre dans le coefficient -7et, par conséquent, une erreur d'ordre A" -f- 2 dans le produit -j- ox, puisque ùx est d'ordre A" -H i . Cela revient à remplacer
^F dF dF
dx dy dx' par
Il reste donc (avec ce degré d'approximation)
F{x,y) = F{xk,yk)-^^^^oc,
6o CHAPITRli XXVII.
en posant
V X S:r = X 8:r -i- Y SjK -1- X' û^' -I- Y' oj' -(- X" ox"-^ Y" Sjk", de sorte que les équations (i) deviennent
les seconds membres sont connus de même que les X, de sorte que les équations (2) sont des équations linéaires à second membre. Les premiers membres demeurent les mêmes à toutes les approximations.
Supposons en particulier qu'on veuille déterminer les termes de degré i, en supposant a, = 7.0 = 0; les seconds membres deviennent alors (pour la première équation, par exemple)
F(.ro,jKo, .^'0, JKo, ^o,7o. ^M «2),
ou, puisque a, ^ 7.0= o,
¥{xo,yo, x'q, y'o, ^o,7o, «> «)• Mais cette expression est nulle, puisque
a? = ^0, r = Jo
est une solution des équations (1) pour a, = ao= o. Les équations (2) deviennent donc
( 2^\ ox = 0, (3)
Ce sont des équations linéaires sans second membre.
Mais on sait que, pour intégrer des équations linéaires avec second membre, il suffit de savoir intégrer les équations sans second membre; on n'a plus à effectuer ensuite que de simples quadratures.
Donc, quand on saura déterminer les termes de degré o et ceux de degré i, pour a, = a2=o [c'est-à-dire quand on
MOUVEMENT DU PÉRIGÉE. 6l
saura intégrer les équations (3)], on saura déterminer par quadratures les ternies de degré supérieur quels que soient a, et a.2.
Les équations (3) ont reçu le nom à'' équations aux variations (cf. Méthodes nouvelles, t. I, Chap. IV).
Dans le cas qui nous occupe, ce sont la parallaxe a et l'excentricité solaire E3 qui jouent le rôle des paramètres a, et aa ; le rôle des constantes 3 est joué par
(4) Eie'ï^., Eie-'CTi, Eae'^^ Eae-'^^.
Nous avons déjà déterminé au Chapitre XXV les termes de degré o; il nous reste donc à déterminer les termes de degré i par rapport aux constantes (4), c'est-à-dire par rapport àE, el à Eo, en
supposant
on n'aura plus ensuite à eflectuer que de simples quadratures, A.u Chapitre XXVI, nous avons calculé les termes de degré i par rapport à Eo ; nous avons maintenant à calculer les termes de degré i par rapport à E, .
Tel est le principe qui va nous servir à calculer les différents termes de nos développements; nous verrons dans les Chapitres suivants quelles modifications de détail il convient d'apporter à ce principe pour qu'il s'adapte parfaitement à notre objet.
342. Voulant calculer les termes de degré i par rapport à E,,
nous devons faire
nous retombons donc sur les équations du Chapitre XXV; nous avons d'abord 5 = 0, puis les équations (4) du n" 324 :
\ X — 2 my — o tn-x -\ r- = o,
/ y -\- imx' -t- -^ = o.
Nous avons trouvé plus haut au Chapitre XXV une solution particulière de ces équations (5), soit
^ = ^0. r=jo;
62 CllAPITllb; XXVII.
il s'agit d'en trouver une solution plus approchée
en négligeant le carré de Ei et par conséquent celui de ox et o/. Formons donc les équations aux variations des équations (5); il viendra
i 037" — '2 m or' — 3 m- 03- H- A 03; -4- B 8k = o, (6) -V, / ^ ^
( Of" -\- -mi ÙX' -f- B 037 -+- C OJ/ := o,
en posant
^- dx^\r7')' ^- dx dy \~ /■; ' ^- dy^
et en remplaçant bien entendu dans A, B, C, après différentialion, X el y par x^ et j^o-
Les équations (6) sont des équations différentielles linéaires en ox et oy^ puisque A, B, C sont des fonctions connues. Le système formé de deux équations du deuxième ordre est du quatrième ordre; il admettra donc quatre solutions indépendantes. Deux de ces quatre solutions sont déjà connues. En effet, les solutions du Chapitre XXV,
dépendent en réalité de deux constantes arbitraires; nous a\ons trouvé en effet pour Xq une solution de la forme
