t:, m) et de même pour^o- Or

La solution continuera à convenir si l'on change t en t -\- e, de sorte qu'il reste

avec deux constantes ai^bitraires s et /«,, ou bien "^0 = ^ —(t-ht),m\.

MOUVKIUENT DC PÉRIGÉli:. 63

Nos équations aux variations (6) admettront donc comme solutions

particulières

dxç^ ^ dy^

dz -^ dt

dxQ ^ dyo

ox = —, — ) or = —, — }

dm dm

en prenant pour variables indépendantes t^ s et /», ou bien en revenant aux variables indépendantes t et m,

^ III dXn ~, /l-j dvn

ùx = • , , 0 y = — - —7- ,

m dx m ci-z

il) <

i -. T dxo dxo ^ T dj'u dyn

f ox = —j h -j — j 0 y = -, h -j—

\ m ax dm m ai dm

Inutile d'ajouter que, dans la première ligne de ('j), on pourrait supprimer le facteur constant en n^ et m, puisque les équations sont linéaires.

Connaissant deux solutions particulières d'un système du quatrième ordre, on sait qu'on peut ramener ce système au deuxième ordre; mais il vaut mieux opérer autrement, parce que la seconde solution ('j) n'est pas périodique.

Partons donc de l'intégrale de Jacobi

et formons-en l'équation aux variations.

Si nous supposons 3G = o, de façon à éliminer la seconde équation (^), il viendra

x\j ùx +J 0 ^y — 6 m- Xq ox -^ 3-0'^ ^ ^ ''^J^ — o-,

OU, puisque ^r^ et j^^ satisfont aux équations (5),

8) x'(, ùx'-^y'o Sy— (a?; — '2my'o)ox — {yl -f- ■2mx'^^)oy = o.

On vérifiera sans peine que la première solution (-j) satisfait bien à (8).

Combinons alors la première équation (6) avec (8) ; nous aurons un système (g) qui sera du troisième ordre, et qui admettra comme

64 cHAPiïhE xxvir.

solution particulière

dxQ , ^ dyo ,

Grâce à la connaissance de cette solution particulière nous pouvons ramener le système au deuxième ordre. Posons en effet

(8^ -+- i oy) = (ç -f- rr,) (^; -+- i>û )>

avec son imaginaire conjuguée, et prenons pour nouvelles variables ^ et 7). Alors, nos équations admettent comme solution particulière

^ -i- iT, = ^ — î'-/] = I , ^ = I , ■'] = o ;

donc i satisfait à une équation linéaire du troisième ordre, qui admet pour solution particulière i , et r, à une équation du deuxième ordre de la forme i'

(lo) r/'-H Hr/+ Kt) = o;

pour ramener cette équation à la forme canonique, posons

0 étant noire nouvelle inconnue, etcp une fonction périodique dcT, telle que

Alors p satisfait à une équation du deuxième ordre de la forme

où 6 est une fonction connue de t.

343. Il nous faut maintenant montrer que cette équation (i i) est de même forme que l'équation (i) du Chapitre précédent, c'est-à-dire que 6 est une fonction paire de t, périodique de période tï et toujours finie.

Dans les équations (6), les coefficients A, B, C sont des fonctions périodiqvies, de sorte que ces équations ne changent pas quand on change x en -: 4- tt. Si donc nous désignons pour un

instant par B\CC, OiJK, ^i, -^i ce que deviennent o.r, oy, ^, t] quand on change t en t + tt, et si S^, ùy est une solution, il en sera de même de ô, jt, §)y. Mais nous avons