l OJ' = ( ^ -f- t-^ ) (ip'o + i/'o
avec sa conjuguée. Si dans cette équation je change t en - + tt,
se changeront en
5i^, ôiJK, ^i, 'II, — ^'o, — j'o, d'où
ce qui montre que, si ç, yj est une solution, il en est de même de — Çi, — T, , et par conséquent de ^,, y), ; ce qui veut dire que les équations en ^ et en yj ne changent pas quand on change t en T + 7ï. Donc, dans l'équation (to), H et K sont périodiques.
Si l'on change t en — -:■ et oy en — ùy les équations (6) ne changent pas, car A, B, G se changent en A, — B et G. D'autre part, x'^ ^^ y'o se changent en — x'^ ety^. Donc
se change en
occ — ioy
ce qui veut dire que ; change de signe et que Tj ne change pas. L'équation (lo) ne doit donc pas changer, ce qui veut dire que K est une fonction paire et H une fonction impaire de t. Si nous reprenons l'équation
nous verrons que
Or H est une fonction périodique et sa valeur moyenne est nulle puisque c'est une fonction impaire; donc / H c/t, et par conséquent, C2 est une fonction périodique et paire. On en conclura
P. — II (2). f)
que © est une fonction périodique et paire. Nous verrons d'ailleurs bientôt la façon de déterminer complètement o.
Il reste à montrer que 6 est toujours finie. Pour cela nous remarquerons que ox et oy sont finis ; donc
ox -h i8y
^ -H i rj = — —^
ne pourrait devenir infini, t étant réel, que si l'on avait à la fois
ce qui ne peut arriver, les trajectoires fermées de la Lune (rapportées aux axes tournants), étudiées au Chapitre XXV, ne présentant de point de rebroussement cjue pour — := 1778-
Il faudrait faire voir maintenant que o et par conséquent 0 sont finis; pour cela nous allons déterminer cp, mais il est nécessaire de reprendre la chose d'un peu plus haut.
344. Il serait facile de déterminer z> en faisant le calcul tout au long, mais il est plus instructif de procéder autrement. Les éc[uations (6) admettent quatre intégrales linéairement indépendantes; nous connaissons déjà deux d'entre elles qui sont les intégrales (']).
Les deux autres, d'après les propriétés générales des équations linéaires à coefficients périodiques, seront de la forme
I ox—i of = V c/, ■Qc+iic+\ ^
et, en changeant - en — t et oy en — oy, ce qui ne change pas les équations,
( bx — i oy = "y 6a-C-^-2^^-', (12 bis) \
ox
En additionnant ces solutions, on trouverait une solution réelle
ox =^(^A-^- ca)cos[w3+ ppi + (2A--1-i}t:],
oy ^y (b/,- — c/J sin[('P3-h wj-h (2/1 -H I) t];
les coefficients bk et Ck sont réels. Le nombre c nous fait connaître le mouvement du périgée de même que le nombre g nous faisait connaître celui du nœud, la remarque du n° 340 restant applicable. On pose
£ étant une constante arbitraire et w^ représentant la quantité
définie au Chapitre XXIV avec les conditions
/l:j-f- rii II-, .
c = , £ = TïTj , C = [ -h m -\ : .
«1 — n-2 /il — no
Entre les quatre solutions (7), (12) et (12 bis) existent certaines relations bilinéaires dont nous allons indiquer l'origine. Considérons un système d'équations canoniques
dx clF dy d¥
dt dy ' dt dx '
d'après le théorème du n° 16, rappelé au n° 318, il existe une fonction 0 telle qu'on ait
^Sxdy=. du -H y A dn — F dt,
les A dépendant seulement des constantes d'intégration a; on aura donc, par exemple,
^ dv.x dy-x ''
Jmd d'X-i d<X.2 ^"
Si nous difFérentions la première par rapport à ao, la seconde par rapport à a, , il viendra
dx dy yr\ d'y dQ c/Ai
-y ax ay ^ y .^ d'x=, do-x ^U
doix d'Xi doLi dot.-!. d-x-i
dx dy •^ d'^y dQ. dX^.
dot., d%^ d%\
-^ dx dy •^ a^jK ^U d'Xx doL.2 j^ d'Xi d-j-i
68 ciiAPiTRii: XXVII.
ou, en retranchant,
•^ / dx dy dx dy \ dK \ dX 2 Jmi\di^ d%i dii di-ij dix-2 c/oti
Comme les A ne dépendent que des constantes d'intégration, le second membre se réduit à une constante.
Supposons qu'on forme les équations aux variations des équations (i3); nous obtiendrons deux solutions particulières de ces équations en faisant
et
dx . dy
ox = -j— . 6y = -7^
«ai dot-i
rv <^^ r, dy
ox = -j— , by = -j— ,
et nous obtiendrons ainsi toutes les solutions indépendantes de ces équations aux variations. Si donc
ox = ^, OJ- = Yl, OX = ^*, Oy = 7)*
sont deux solutions quelconques de ces équations, on aura entre elles la relation bilinéaire
^(i'ri* — 'nV)= const.
Nous pouvons appliquer ces principes aux équations qui nous occupent, puisque les équations (4) et (6) du Chapitre XXV dérivent directement des équations canoniques (i). Les variables conjuguées sont alors
et leurs variations sont
dx
8x, SX — 0 — /t2 By = ( «1 — ^2 ) ( S^' — "^ ^y ) )
oy, oY = 0 -^ h «2 ox =:-{nx — «2 ) ( By' H- m Bx).
Soit alors
Bx = Oi .r, SX = Si X, oy = S] jk, S Y = oj Y une solution particulière des équations aux variations, et repré-
sentons de même par des indices 2 une seconde solution particulière; on aura
{B1CCO2X — 8iX82Cc)-\-{Oiy8oY — SiY82y)= const., ou, en remplaçant oX, ôY par leurs valeurs et divisantpar n, — /io,
■ -(oijKÔijK' — ^-ly^iy' )-^'2m(oiy82X — ô^jKOia?) = const
La constante du second membre est nulle si les deux solutions 0, et §2 sont identiques; elle est nulle encore si l'on combine une des solutions (^) avec une des solutions (12) ou (12 bis). Si l'on combine en effet la seconde solution ('j) avec (12), le premier membre de (i4) ne contiendra que des termes en
T^c+rt OU Çc+« (^fi étant entier).
Aucun de ces termes ne peut être constant à moins d'être nul.
D'autre part, si nous considérons une solution §,, la constante du second membre ne peut être nulle, quelle c|ue soit la solution Oo ; sans cela on aurait entre les quatre quantités
Si 37, OiJ, OiX', Ôij'
quatre relations homogènes du premier degré dont le déterminant n'est pas nul, et ces quatre quantités devraient s'annuler à la fois. Nous devrons donc conclure cjue la constante du second membre n'est pas nulle quand on combine entre elles les deux solutions ('-) ou les deux solutions (12), (12 bis).
345. Que devient la relation (i4) quand on fait subir à nos équations les transformations du n" S^S? Il est clair que nous allons avoir une relation bilinéaire entre deux solutions quelconques des équations transformées
Cette relation bilinéaire devra être évidemment satisfaite, la constante du second membre étant nulle quand l'une de ces deux solutions correspondra à la première solution ('j), c'est-à-dire quand
70 CHAPITRE XKVII.
on fera
^i = ii ^'i = "ni = 'Il = O)
ou bien
Nous en devons conclure que ç, et ^2 ne doivent pas figurer dans notre relation bilinéaire ; nous aurons donc une relation bilinéaire entre
^'i, -rn, -ni,
Si, dans la relation (14)5 nous prenons pour la solution o, la première solution ('^), nous retomberons sur l'équation (8) déduite plus haut de l'intégrale de Jacobi. Transformons cette équation (8)
en faisant
8x -h iof =(^ -\- i'i]){x' -^ iy');
elle deviendra
Si, en partant de cette équation (i5), nous remplaçons ^', et ^^ en fonctions de ru et r,o, il restera une simple relation bilinéaire entre
iQi, 'n'i> ■^2, -n'i, qui devra être de la forme
^('^)('ni'n2 — '';2'n'i)= const.,
•}(-) étant une fonction connue de t; il est d'ailleurs aisé de voir que
cette fonction cp étant celle du n" 342.
346. Reprenons les équations (6) et passons aux variables H et -^j nous aurons deux équations linéaires entre
où. ^ ne figurera pas puisqu'elles doivent être satisfaites pour ^ = i , 71 ==0.
MOUVEMENT DU PERIGEE. 7I
Multiplions-les par — v'^ et^r'^ et ajoutons de façon à éliminer ç"; il restera
remplaçons ensuite ^' en fonction de t) à l'aide de l'équation (i5); on trouvera ainsi
(16) v(^o'+yo')+2Yi'(a^'o:^;-f-royô)+'^^ = «,
M étant une fonction connue de t; si nous comparons à l'équation (10), nous trouverons
ti = Q. -^^p- ,
d'où
Nous en conclurons d'abord que 'z> ne peut devenir ni nul ni infini, par conséquent que p reste fini, et enfin que 0 (qu'il est d'ailleurs aisé de former) est toujours fini, car, si 0 devenait infini, l'une des deux intégrales de l'équation (i i) devrait devenir infinie.
Donc l'équation (ii) est de même forme que l'équation (i) du Chapitre XXVI, et tout ce que nous avons dit dans ce Chapitre devient applicable. On peut se servir en particulier du déterminant de Hill pour calculer le mouvement du périgée. La seule différence c'est que 0) est notablement plus grand, et il en résulte deux choses : d'abord la convergence du développement est moins rapide que pour le mouvement du na:'ud et c'est ce qui explique les circonstances qui avaient tant étonné les mathématiciens du xviii^ siècle; ensuite certaines inégalités ont un coefficient notable. C'est ainsi qu'à côté des termes en b^ et Cq qui représentent les termes principaux de V équation du centre, nous avons les termes en b^ et C| qui nous donnent la grande inégalité connue sous le nom à^évection.
347. On peut obtenir immédiatement un système du second ordre auquel satisfont §.3? et 8y, je veux dire les solutions (12) et (12 bis) qui nous intéressent. Reprenons en effet la relation bilinéaire (i4)j et imaginons que Oo^r, Soj)' (que nous désignerons simplement par Sa?, 8/ «n supprimant l'indice 2) représentent
l'une des solutions (12) ou (12 bis) et que '^\X^ 5,^ représentent une des solutions (7); la constante du second membre sera nulle, mais les solutions (7) peuvent être regardées comme connues, cela va donc nous donner une relation linéaire entre 8^, hy^ hx' ^ ùy' ; comme nous avons deux solutions (7), cela va nous donner un système de deux équations différentielles du premier ordre entre 037 et hy.
Prenons d'abord la première solution (7),
d'où
nous trouverons
(16) ir'o 5a;'-H jk'o "^y' — ^0 ^x — y" hy -H nmiy'ç^ hx — x',^ 8jk) = o. Prenons ensuite la seconde solution (7),
oj a- = x\^ H — —- , Oiy = y'o -i '■;—
m " dm -^ m-^ ^ dm
d'ovi
dxt) dm
dx'^
.fi>
dm
m dm m -^ m^ ^ dm m
Nous trouverons en tenant compte delà relation (16), en vertu
de laquelle les termes en — se détruisent ^ m J
' dxa . , dvn - , dx'f. . dvn ^
l — — 037 H — r—^V T-^ ox r-^oy
1 d/)i dm - dm dm
j 3"o o.T + r'„ ôy [ dyo ^ dxo ^ \
H '1 -^ -h 2 m -y— ox 1— or = o.
\ m \dm dm /
Il s'agit d'intégrer le système (16), (17). On pourrait cliercher à le ramener à la forme canonique, ou bien en faciliter l'intégration par l'emploi de l'artifice du n° 327. Reprenons les équations (3 bis) de ce n° 327, que j'écris
l X — "i-py p'^x m-x -A = o,
(5 bis)
[ y H- ipx - - p^y -^ - m'- y + — = o.
Nous pourrons remarquer que ces équations peuvent être déduites d'équations de forme canonique; il suffit de prendre comme variables conjuguées
X, Y, X, y avec
X2-1-Y2 ml + rn^ ,„ ^ , ,^^4-jk2 o/., ^^ — .X" F = —^ -+- «2 ( XjK —icc) — nt j-^ 3 h- '^^ -
de former les équations canoniques
dx^ dF^ dX __dF
dt ~ dX. ' dt dx
d'éliminer X et Y, et de poser
dx ^={ny — 112) dt, n.i = p{n\ — n^), h = m{ni — n,)»
(fil— n^f
Recommençons sur ces équations (5 bis) les mêmes raisonnements que sur les éc[uations (5).
Les équations (5 bis) admettront le système de solutions périodiques formées au Chapitre XXV et que nous écrirons
Xo=o{x,p,m), yo= Oi{-z, p, m).
Nous formerons les équations aux variations analogues aux équations (6) en posant
x = xo-+-ox, jK=jKo-+-8r-
Ces équations admettraient des solutions analogues aux équations (7) qu'on obtiendrait en différentiant, par rapport aux deux constantes d'intégration z et n,, l'expression
d'où les deux solutions particulières
dxo , - dx^
OX = —r- =::(nx— lin ) — r- j
dz dx
. dxi) , dxQ lin dxQ h dx(j
drii dx (/Il — ji--,)^ dp («1 — «=>)- dm
74 CHAPITRE XXVIl.
ou^ en supprimant des facteurs constants,
dxçs dx(j dx()
dx dp dm
qui remplacent les solutions (7).
Dans ces conditions, (16) et (l'y) deviennent
{\^his) ^^o Sa?'— ^a?; Sa-H- 'i/jCjKo ox — x'^ 8j/-)= o,
(17 bis')
dxç^ dxo \ ^ , V' / dx\^ dxr. , ,
m -j hp -7— ) ox -- > [m — hP -— ùx
dm dp I ^^ \ dm dp J
X, ox + ^pm ( — 0.V - ^ oj^j + ■^p^ ( -^ox- — ojj = o.
On va ensuite chercher à développer suivant les puissances de m^, et il arrivera alors la même circonstance signalée à la fin du n° 328 que le développement du coefficient d'un même terme procédera suivant les puissances non de m-, mais de m^.
Mais, pour m = o, on a simplement
A étant une fonction de p facile à former; il vient donc
x'q = — A sinT, j^'y = A cosT,
dxo dy^ .
p —T— ^= B COST, 0-7— =B SUIT,
dp dp
en posant pour abréger Soient alors
les premiers membres des équations (16 bis) et (17 bis) que j'écris sans mettre en évidence ni /?, ni les inconnues 8.2;, hy et leurs dérivées. Nous désignerons de même par
F( A COST, A siîiT, o)
ce que devient F(xo,yo, m) quand on y remplace m par zéro, ^0 etjKo par leurs valeurs approchées Acosx, Asinx, et par consé-
qiient ^q, y^, --^, -~y • • • par les valeurs correspondantes. Alors
F {xq, y-Q, m)— F (A cos-c, Asinx, o) = — M, Fi(a7o, jKo, m)— Fi(Acost, A sin-c, o) = — Mj
contiendront m- en factenr. Les équations (i6 bis) et (17 bis) pourront alors s'écrire
\ F (Acosx, Asiiix, 0)= M,
^^ ^ j Fi(A cosT, AsiiiT, 0)= M,,
et elles pourront s'intégrer par approximations successives; on négligera d'abord m-, de sorte que les seconds membres seront nuls. Ensuite on remplacera dans les seconds membres ox et ùj par leurs premières valeurs approchées, de sorte que les seconds membres seront connus et que les équations (18) se présenteront sous la forme d'équations linéaires à second membre, et l'on obtiendra à l'aide de ces équations de nouvelles valeurs approchées, et ainsi de suite.
On voit aisément que les premiers membres sont de la forme
A( — sinx ox' -+- cosT ôj-')-H G( cosx 8^ -t- sint Sj/),
( B( cosT ôa;'-!- sinx 8/')-+- D( — sinx oa? -H cosx o/'
A et B (déjà définis) de même que C et D sont des coefficients numériques dépendant de p et faciles à former.
Les équations (18) étant des équations linéaires à second membre, il faudrait savoir intégrer les équations linéaires sans second membre, c'est-à-dire les équations obtenues en égalant à zéro les expressions (19). Or, si nous posons
^ = Ç-i ou = Ç^i(3a7 -+- i 6jk), 7) = Ç 85 = Ç {Sx—i8y')^
ces équations sans second membre prendront la forme
^' + a^ -+- ^TQ = o, ri'-h Y^ + St) =: o,
a, f), y, ù étant des coefficients constants; les équations (18) prendront la forme
r + a^ + h = P, r/-+-Y^ 4- S-fj =. Q,
