TERMES D'ORDRE SUPÉRIEUR

349. La détermination des termes d'ordre supérieur se fera en appliquant les principes du n°341. Je suppose qu'on ait déterminé nos coordonnées jusqu'aux termes du /r«^'"*^ ordre inclusivement, et soit par exemple a: = .r/f la valeur approchée ainsi obtenue ; posons x-=^ Xk-^ox et cherchons à déterminer ox jusqu'aux termes du (A"-i- i^eme ordre inclusivement; nous serons amenés à former des équations analogues aux équations (2) du n° 341; ce sont des équations linéaires à second membre. Les premiers membres sont toujours les mêmes, quel que soit k. Nous avons appris à intégrer les équations sans second membre aux Chapitres XXVI et XXVII, en formant les ternies du premier ordre. L'intégration des équations à second membre, et par conséquent la détermination des termes d'ordre supérieur, peut donc s'opérer par de simples quadratures.

Toutefois une complication se présente : nous n'avons pas seulement trois fonctions inconnues qui sont nos coordonnées x^ y, z- ; nous avons encore deux constantes inconnues g- el c d'où dépendent les mouvements du nœud et du périgée.

Ces deux constantes sont développables suivant les puissances de

Eï, E|, E|, a2.

Nous n'avons déterminé jusqu'ici aux Chapitres XXVI et XXVII, ainsi que nous l'avons remarqué au n° 340, que les premiers termes de ces développements, ceux qui sont indépendants des EJ et de a^.

Supposons alors qu'on ait déterminé g et c jusqu'aux termes du (k — i^eme of(jj.g inclusivemeu t, et soient o/^i et c/s i ces valeurs

approchées; soient ensuite ^/i, + og\ c^( + Se des valeurs plus approchées jusqu'aux termes du /£•'«"'« ordre inclusivement; en même temps que ox^ §jk, Ss, il nous faut déterminer ùg et Se. Nous ferons cette détermination, comme on le verra dans la suite, de façon à faire disparaître les termes séculaires.

330. Rappelons en quoi consiste la méthode de Lagrange pour l'intégration des équations à second membre. Considérons pour fixer les idées un système du troisième ordre, formé de trois équations du premier ordre. Soient donc X, Y, Z trois combinaisons linéaires de x, y, z; soient A, B, G trois fonctions connues, x', y, z' les dérivées de x,y, z; nos trois équations pourront s'écrire

Supposons qu'on ait intégré les équations sans second membre

(2) ar'-f- X =y-i- Y = 5'+ Z = o,

et soient

x = :vi, y—yi, z — Zi (i = i,2, 3)

trois solutions indépendantes du système (2). On posera

et l'on cherchera à déterminer les nouvelles fonctions inconnues )./. Le système (i) deviendra

(3) ^V,x,= k, ^V.yi^V,, ^\\zt=(l,

et l'on en déduira les X'^ sous la forme

les a/, les [5/ et les y/ étant des fonctions connues de ?, de sorte que la détermination des \i et par conséquent celle de x^ j-, z sont ramenées à des quadratures. Les fonctions a,-, [3/, y/ peuvent s'obtenir par l'intégration des équations du premier degré (3).

Tel est le procédé classique, mais il y a des cas où quelques