TERMES D ORDRE SUPÉRIEUR

simplifications sont possibles. Supposons d'abord un système du second ordre au lieu du troisième, de sorte que les équations (3) s'écrivent

, . ( X'. xi -f- X'.> 07., = A,

Supposons cju'on ait entre les solutions du système sans second membre une relation bilinéaire

H étant une fonction connue de t. On aura

Xj H = AjK2 — B a?2,

-if'

et de même

0 ^1 P2- -Tj

Supposons par exemple qu'on ait une équation de la forme

ce qu'on peut remplacer par le système

x' — y =: o, y -+- Q X = ï> ; on aura alors

^1^2— a72jKl = I,

d'où

\\= — X.yB, V^ = XiB.

331. Supposons un système d'équations canoniques ^^' dt ~ d\' dt ~~ dx'

avec les variables conjuguées

nj^

^1 JK, 5,

Soit ^05 ^07 ••• •^1116 solution particulière de ces équations;

8o CHAPITRE XXVIII.

posons

27 = a7o -i- oar, X = Xo-T-8X, ...,

et, négligeant les carrés de ox, ..., formons les équations aux variations des équations (4); (■2?), (X)? ••• étant des fonctions linéaires des six variables 57, X, ... ; soient

(5) ox' -+- (x) = o, ôX'-i-(X) = o,

ces équations aux variations. Soient

QX = Xi, oX = Xj ... ( t = I, 2. 3, 4î 5, 6)

six solutions indépendantes des équations (5). Considérons maintenant les équations à second membre

(6) ox'+(x) = A, oX'+(X) = A*, ..., où A, A* sont des fonctions connues. Posons

X =--\},iXi, X =^X;X,-, ...,

d'où

■ ^v,xi=A, 2x;x,= A*,

11 s'agit de déterminer les fonctions a, ....

A cet effet, rappelons-nous qu'on a, d'après le n° 341,

{xiX/,— x/cXi) -i- (ji-Y/t— JA-Y/) -+-(^iZ/,— ZkZi) = const., ce que j'écrirai simplement

(7) ^(xiX/,— x/,Xf) = const.

On peut choisir les solutions particulières Xi, ... du système (5) de telle façon que la constante du second membre soit égale à i pour

t = I , k — 1; t = 3, /i = 4 ; i =^ 5, /î = 6, et à zéro dans tous les autres cas.