Reprenons les équations canoniques (28 ) du n

dx dF' dX dF'

^ ~di ~ d\' 'dt ~~ dx'

Supposons qu'on ait trouvé une solution exacte jusqu'aux termes du A'*"""= ordre inclusivement (par rapport aux E et à a). Soit

X = xi„ y = Vk, - = -/;■, X = X/,,

celte solution. 11 convient, comme je l'expliquais au début de ce Chapitre, de tenir compte des constantes c Q^ g- Je suppose que nous possédions des valeurs approchées de ces constantes,

c = C/,|, g- = ff/c-i,

exactes jusqu'aux termes du [k — i)"^^""" ordre inclusivement. Je dis d'abord c[ue l'erreur commise sur les deux membres des équations (8) est du (A" + ij"'"'" ordre. Cela est évident pour les seconds membres, puisc[ue nous y substituons à la place des inconnues des valeurs exactes juscju'au /r"""' ordre ëxclusiveinent. Pour les premiers membres, où figurent les constantes c et ^>", cela exige un peu plus d'attention.

En elî'et x, par exemple, est une fonction périodique des quatre arguments (V/= /itl H-ra,. On aura donc

dx y^ dx

dl ^'" d:vi''

mais, comme

«3 = ( c ^ [ — m) (jii — «o), 71^= (g- — 1 — ni) {/Il — rii),

-j- dépend de c et de g. Quelle est l'erreur commise si nous sul:- P. — II (2). 6

82 CHAPITnK XXVIII.

stituons Xhi Ck.-\ et gk-\ à la place de x^ c et ^? Si nous remplaçons X par Xh^ nous commettons une erreur du (A- + i)"="'« ordre; si nous remplaçons ensuite c par Ck-\-, nous commettons une nouvelle erreur

Or c — cjç^^ est du A"' ^""^ ordre ; je dis que y-^ est du premier

ordre, car Xh — Xq est du premier ordre, et -j-^ est nul puisque .r,)

ne dépend que de (v, — w^. L'erreur est donc du [k + i)'ènie Q^àre ; et il en est de même quand on remplace g par gk^\.

Soit donc

(9) A, A*, B, B% C, G* ce cjue deviennent les différences

dx d¥' dX dF^ dy d¥'

dt d\' dt dx ' dt c/Y '

quand on y fait cette substitution.

Les expressions (9) seront des fonctions connues qui seront du (A + i)^^''"'' ordre.

Posons alors

X =^ x/c-\- 0^, X =: X/,. -t- ôX, c = c/,-i + 8e, . . . ,

et proposons-nous de pousser l'approximation jusqu'au {k -\- i)"^""^ ordre pour x^ juscpi'au A''""^ ordre pour c. Nous pourrons négliger les carrés de ox^ oc, . . . , et nos équations prendront la forme

^ dx ^ d¥' . ,v dX ^ dF' , ^

(10) 0 -, 0 —rrr = A , 0 — h 0 -7- = A , ....

^ ^ dt d\ ' dt dx '

Les seconds membres sont des fonctions connues; cjuant aux premiers membres, ce sont des expressions linéaires par rapport aux inconnues et à leurs dérivées. On a par exemple

^ f/r d^ , ^ ^^F' ^ dx dx- dxd\

où, dans les dérivées secondes de F', les inconnues doivent être

TERMIiS d'ordre SLHÉRIEUR. 83

remplacées par leurs ^'a:leurs approchées x=zXq^ X=iXo, ... (en même temps que les E et a par zéro), ainsi qu'on l'a expliqué au n" 341. D'autre part,

^ dx v^ d ox ■^ ^ dx

0 —r- = y m -j h y ont - —

dt ^^ diVi ^i diVi

T^ 1 • V^ d ùx ,

Dans le premier terme >/i/-^ — > nous pouvons remplacer n^

et /Z/, par leurs valeurs approchées

(co— I — m)( ni — n-i), {ffo— i — rn) («i— n-i),

déduites de l'analyse des Chapitres XXVII et XXVI. L'erreur commise ainsi sur ni est du premier ordre (et même du second),

et, comme ox est du ( k -\- i)"""" ordre, l'erreur sur n;—. — sera

' ^ dwi

du (A' + 2)"^""^ ordre au moins.

Dans le second terme > ^ni -, — , où figurent

^ dwi *

0^3 = (/il — n^) 8c, o/i; = ( «1 — fii) Qff,

nous pouvons remplacer x par Xi ; l'erreur ainsi commise sera du second ordre, et, comme uni est du A'"-'""' ordre, l'erreur sur le produit sera du (k + 2)"^""^ ordre.

Si nous faisons passer le terme ^ on/-,— dans le second membre,

les équations (10) deviennent

d ox r, dF' . •%^ -, dxi rii — — — ô -—T = A — > hiii -j — ,

(ti) { ^ rfoX .^F' - ,, V^, rfX,

ni

l-<^-T- =A*— > o/iz-paw',- dx Amà dwi

Les premiers membres restent les mêmes à toutes les approximations.

Dans le calcid des termes du premier degré, et en supposant a = E3 ^ o (et aussi oc ^ o^- := o etpar conséquent o/«/= o, puisque à cette approximation c et ^ se réduisent à Cq et «"o)> ^es seconds membres sont nuls; les équations (11) doivent alors se réduire à celles que nous avons intégrées aux Chapitres XXVI et XXVII, Chapitres dans lesquels nous avons précisément cléter-

84 CJIAPITRK XXVIII.

miné ces termes du premier degré; c'est dire que les premiers membres des équations (i i) se réduisent à

I d ox

dt doX

dt àoy

dt

dt

à oz ~dt dlZ ~àt

( /»i -4- m-;) 0 — — 2 7i| 0:r ^ n^ùY ,

0 Y H- ji-2 ox ;

(/?ii -4- m-,) 0 ^ H- /i| S/ -4- «2 ^^)

ôZ,

{rii — n^)Q oz

[c/. équ. (i), Chap. XXV, n" 323; équ. (i),Chap. XXVI, n" 331; équ. (6), Chap. XXVI I, n' 342].

Observons d'ailleurs qu'on aurait

xo^ =-- Bo:r + Gôy,

A, B, G ayant même signification que dans les équations (6) du Chapitre XXVII; nous écrivons aussi pour abréger

dt Zd '^' dwi

les iii étant remplacés par leurs valeurs approchées

«1, /i2, (co — I — m){n^ — 7i2), (,^0— I — /'î)(«i— /is)-

3o3. Si nous supposons pour un instant que les constantes oc et ùg (et par consécjuent les ont) sont données, les seconds membres sont connus; les premiers membres sont les expressions (i y.) et nous savons intégrer les équations sans second membre; le prol)lème peut donc être considéré comme résolu par l'application du procédé classique du n" 350. Nous devons toutefois faite les reuiarques suivantes :

1° Les seconds membres se présentent sous la forme de fonctions

TKHMES d'ordre SUPÉRIEUR. 85

périodiques connues des quatre arguments (V/; mais dans les premiers membres figurent non pas les dérivées

fi __'^ ^ dt ~ ^"'^ dwi ' mais les dérivées

dt ~^"' dwi' OÙ les /ij- sont les valeurs approchées

n^ = (co— I— 7n)(ni — n.), «9 =(g-^—i — m)(ni — «2).

Gela ne change rien d'ailleurs au principe du calcul; seulement il faut, avant l'intégration, remplacer dans les seconds membres les iVi non pas par mt 4- ra/, mais bien par ïi*^ t + w/.

Supposons donc qu'on ait formé les fonctions que nous avons appelées "}'■ au n° 3oO,

ce sont des fonctions périodiques données des w; on doit écrire alors non pas

cfki •^ri d\i ,

dt ^U dwk

mais bien

dki ^ ^ dhi

—- — y ni —, — = a,- A H- .

ai Ad '' dwu

Si donc

(i3) a,-A+...=2/ie^'='-/^-«'-

les ko. étant entiers, on en déduira non pas

mais bien

Cette analyse suppose que le second membre de ( 1 3 ) ne contien t pas

de terme constant. On verra plus loin, au n" 3o6, comment on peut s'arranger pour qu'il en soit ainsi.

3o4. On remarquera que les quatre premières équations (ii) forment un système qui ne dépend que de oa?, Sy, ôX, SY, tandis que les deux dernières forment un système qui ne dépend que de S^, oZ. Ces deux systèmes peuvent donc être traités séparéauent.

Nous remarquerons ensuite que nous nous trouvons dans le cas 'OÙ le procédé dun" 3ol est applicable, puisque nos équations sans second membre sont les équations aux variations d'équations canoniques.

Considérons donc les quatre solutions particulières (7), (12) ■et (1 2 bis) du Chapitre XXVII ; soient

5^ = ^1, 0.7 = 'Il ; Sx- = ^2, SjK = '12

les deux solutions (^), ou ces deux mêmes solutions multipliées par un coefficient que nous pouvons choisir arbitrairement ;

les deux solutions (12) et (12 bis)^ ou ces mêmes solutions multipliées par un coefficient que nous pouvons choisir arbitrairement. Soient

les valeurs de ôX et o\ qui correspondent kùx ^ ^/, oy = t^-; on aura la relation bilinéaire

ilàl— Vilh) + (''^;/'^iI-— T^i/'^i/.) = const.,

qui n'est autre chose que la relation (i4) du Chapitre précédent. Nous savons c[ue la constante du second membre est nulle, sauf dans le cas où « = i , /: = 2 et dans celui où f = 3, k = ^. Nous pourrons choisir les coefficients arbitraires dont nous venons de parler [et par lesquels les solutions (7), (12) et (12 bis) sont multipliées] de telle façon que dans ces deux cas la constante du second membre soit égale à 1. C'est ce qui est le plus commode pour l'exposition; mais dans le calcul on pourra faire un autre choix; par exemple on pourra avoir avantage pour / = 3, A' := 4 à supposer la constante égale à y/— i .

TERMES d'oKURE SUPÉRIEUR. 87

Soient alors

les seconds membres des six équations (i i), de telle façon que

Ja^ dwi

Appliquons le procédé du n" 3ol ; il viendra avec les conditions

1 ^ = - ^: I^ + s^ L* - -riî M + T, , M*,

3oo. Le même procédé s'applique au second système formé des deux dernières équations (i i). Soient

les deux solutions (2) de l'équation (i) du Chapitre X.XVI, multipliées au besoin par un facteur constant arbitrairement choisi. Nos équations sans second membre [formées avec 03 comme cette équation (i) avec c] admettront les deux solutions

os = ^5, oZ = ^5,

entre lesquelles nous aurons la relation bilinéaire

^sCb — ^Ke^ const.

11 ne faut naturellement pas confondre les X^i avec Ç =: e'^. Nous pouvons supposer que la constante du second membre est égale à 1 . Nous aurons alors

05 =■ 7,XvC/

88 cnAi'irRii XXVIII.

avec

3o6. Il faut, comme nous l'avons vu à la fin du n" 3o3, que les seconds membres des équations (i4) et (i5), qui sontdesfonctions périodiques des fv, ne contiennent pas de terme constant.

Kxaminons-les successivement et considérons d'abord ~- Je dis

dt

que celte expression est une fonction impaire des iv et ne contient j)as de terme constant. 11 est aisé, en effet, de constater que

^i, r„. L*, M sont des fonctions paires, tandis que

il, -ni L, M*

sont des fonctions impaires, ce qui démontre la proposition énoncée; il ne peut donc pas s'introduire dans Ào de terme séculaire.

Passons à )^, ; nous savons que ^i est égal, à un facteur constant

près, a —j-j et que ç.» est égal, a un lacteur constant près, a

- dx(^ dxQ ?ii ch dm '

nous pouvons donc choisir les facteurs constants de telle sorte que l'on ail

^,, y^i, ^*, Y]*, (ia)) iy\i)i (^*)? (''"I2) étant des fonctions périodiques de T. Posons alors

X,=: — A2-1- ^ii ;

il viendra d'où

~dt ~~ Tt '^"^ ~dt

TKRMKS D'ORDRK SUl'ÉRlia R. 8ç)

Le second membre est encore une fonction périodique des (v, palie cette fois; mais dans ce second membre figure X^ qui n'a élé déterminé que par une intégration, c'est-à-dire à une constante près. Nous pouvons disposer de cette constante de telle façon que le terme constant du second membre disparaisse. Dans ces conditions ix, ne contiendra pas de terme séculaire.

D'ailleurs les deux premiers termes de ùa:

se réduisent à de sorte qu'on a

?)0~ . Examinons maintenant — ^ et — -^ - Je dis que nous pouvons

choisir ùc de façon à faire disparaître à la fois le terme constant dans ces deux expressions. Nous avons

dxx

Comme un i eto/^2■sontnuls et que -,— ^ ^ o, puisque x i ne dépend

que de T ^ (t'i — (Vo et de (v,i, le dernier terme du second membre

se réduit à

. dxi ^ , ^ dxi

— ons —, — = — oc (/Il — n.-,) —, — •

D'ailleurs on a

Nous voyons donc que

peut se diviser en deux parties et qu'on peut écrire

— = ^3— h ûc(ni — n,),

OÙ '^3 est ce que devient l'expression de — -' cjuand on j remplace

go CHAPITRE XXVIII.

par

et 'I3 ce que devient celle expression quand on y remplace ces

quanlités par

dxi dXi dy\ dX^ dw^ dwi dw^ dw-i

On aura de même

'sS-, et 'h., étant lormes avec —- comme c2o el 6. avec -^— • Je vais dis-

poser de Se de façon à annuler le terme constant de —^; je dis que la \aleur de 8c qui annule ce terme esl réelle el qu'elle annule en même temps le terme constant de

^ ut

Nous avons supposé

Jsaà

^i — jT^i = h y é/,;;-c-i/-- -1,

les coefficients bh et Ck sont réels, et h est un coefficient constant dont nous avons disposé de façon à réduire une certaine constante à I .

En effet, quand je change les et' en — (v, x qui est une fonction

paire des (v ne change pas; au contraire, —tti --t—i X, r, . . .

changent de signe.

changent de signe:

ne changent pas.

A , -; — ' B, — — diVi dw-i

TERMES d'ordre SUPÉRIEUR. 9I

^ et — se chaneent en ^ et ^.-j tandis que ^'? et ^/ se changent h h ^ h h ^ h h ^

en p et — ^- Donc -v se chanee en — -7-; -,- en t ' -r

en — ^, ^- en ^ — ^' Donc le terme constant de ^j par exemple, h h II II ^ ^

est égal à celui de — ^* •

Si maintenant nous changeons i en — '5 x' 7^' 7*' T' ^^ per-

utent avec ^, -^, V^, 4^; les quantités A, A*, -^ , ■ ■ -, qui sont h II h II T- ' chv-i ^

réelles, ne changent pas.

çp.j (I;, 04 J;4 , Ç,, (];4 '-pS

Donc V^ ^? i-j -7- se chaneent encore en — ', ? ,- > r >

A h h h ^ h II II

— -y^- Donc le terme constant de -' - est imaginaire conjugué de

celui de — -V^-

Si le terme constant de -' ^ est d'une part égal à celui de j-'

d'autre part imaginaire conjugué de celui de — y^» c'est que ces

deux termes sont égaux et réels. Et il en est de même en ce qui concerne (|>3 et '^i,.

Soient donc

les termes constants de

ils seront réels j et il suffira de prendre

Se

P(aii- «2)

pour annuler à la fois le terme constant de -^ et celui de -r-^- Nous 1 dt al

n'aurons donc de terme séculaire ni dans A3 ni dans X4.

On démontrerait de la même manière qu'on peut choisir hg de façon qu'il n'y ait de terme séculaire ni dans À5 ni dans Xe- En

92 CHAPITRlî XXVIII.

effet, le second membre de la cinquième équation (i i) s'écrit

j^à dwi on a ici

dz]^ ^ dz^ ^ dz\

dwi * dw,^ " ' dw^

Le reste du raisonnement s'achève comme pour ).3 et A4, 0^ jouant le rôle de uc^ N et N* celui de L et L*, ^g et '(« celui de Ç;) et ^4, etc.

358. L'intégration, comme nous l'avons vu à la fin du n" 333, introduit le petit diviseur

où les ko. sont des entiers; comme

n% — Co(/îi — /ia) et

^4 = ft'o(/M— «2)

sont développables suivant les puissances de /?i-, ce petit diviseur sera lui-même développable suivant les puissances de in-. Les premiers termes du développement sont

«2= «S = m(/ii— /-i-i), rt, = n'î = (1 + m) (72i — «2),

n\ = (/Il — /i-O ( /«--f- .

puisque

d'où

k^ nl=k,^( /m + k. ) OT + 7 ( k-, — /h ) m"- -\- .

11 sera donc divisible par m si A-, = o; il sera divisible par msi A-, = /ro = o, c'est-à-dire si le terme correspondant ne dépend que des longitudes du périgée et du nœud; dans ces deux cas il sera ce

TIÎU.MKS d'ordre SUPÉRIEUR. y3

que j'appellerai un petit c/iviseur analytique. Enfin il sera divisible par m-' si A, = /. ^ = o, ^3= /c/,, c'est-à-dire s'il dépend seulement de la somme des longitudes du périgée et du nœud. Ce sera alors un très petit diviseur analytique.

Mais il arrn e ici que les t^'rmes en m^ ont de très grands coefficients, de sorte que (\ — 1 — ///, au lieu d'être à peu près égal en

valeur absolue à -. ni- ^ et par conséquent à ^0 — i — • ''^, est à peu près deux fois plus grand. Il en résulte que les très petits diviseurs analytiques, quoique divisibles par /?i'', sont numériquement de l'ordre de m'-. Si, au contraire, on a /i-, = A-o=o, 2/-3=:A".i, le diviseur, quoique non divisible par /?i^, sera numériquement de l'ordre de m^ . Ce sera un très petit diviseur numérique (inégalité de Laplace, cf. Tisserajnd, t. III, p. i58).

Dans le calcul numérique des coefficients, ce sont les très petits diviseurs numériques qui importent Au contraire, si l'on se propose, comme le faisait Delaunaj, de développer ces coefficients suivant les puissances de //?, il faut s'inquiéter des très petits diviseurs analytiques.

Les très petits diviseurs analytiques se présentent pour la première fois dans les termes en E|E":;E^ ou en E^EoEj, et les ti-ès petits diviseurs numériques dans les termes en Ei;E:|a, EiE^^E", E.EoEllaouEjEllE".

3o9. Tel est le principe de la méthode de Brown. Je n'insisterai pas sur les perfectionnements de détail qu'il y a apportés et dont les principaux sont les suivants :

i" Au lieu de quatre équations linéaires du premier (jrdre à second membre, il emploie deux équations linéaires du deuxième ordre à second mcml)re (obtenues par l'élimination

de X et Y); il en résulte que les expressions des -^ sont un peu

modifiées et se présentent sous la forme d'une somme de deux termes seulement et non de quatre.

2" Au lieu de ox et or, il prend couiuie inconnues les quantités imaginaires

cju =z ox ~- i 3}', os = ô.r — / oy.

3" Au lieu d'employer des lignes trigonoiuétriqucs des muki[)le3

g4 CHAPITRE XXVIII. — TERMKS d'oRDRE SUPÉRIEUR.

des (V, il simplifie les notations en introduisant la variable

4" Pour les approximations d'ordre élevé, il a recours à l'artifice par lequel Hill était passé des équations (2) aux équations (5) du Chapitre XXV. Les calculs de substitution s'en trouvent un peu simplifiés.

Je me bornerai à dire que la méthode est applicable aussi bien au calcul des termes du premier ordre en a et E3 qu'à celui des termes d'ordre supérieur.

Pour plus de détails, je renverrai à son Ouvrage original {Menioirs of tlie Royal AstronornicaL Society, t. LUI, LIV et LVll).

On pourrait se demander si, à cause des petits diviseurs divisibles par m- ou m^, on n'arrivera pas dans la suite des calculs à des termes contenant en facteur une puissance négative de m. On peut démontrer que cela ne peut arriver que cpiand interviendront les très petits diviseurs analytiques. 11 en résulte, d'après le numéro précédent, que cela ne peut arriver que pour des termes d'ordre très élevé; cela ne peut arriver si l'on suppose £2 = 0, ou bien £3^ o, puisque dans ce cas il ne peut y avoir de très petitsdiviseurs analytiques, mais tout au plus de petits diviseurs analytiques divisibles seulement par/?î-. Pour la démonstration, je renverrai au Bulletin astronomique, t. KXV, p. 821.

360. La seconde méthode que nous allons exposer présente surtout des avantages quand on veut obtenir non seulement la valeur numérique des coefficients, mais leur développement analytique en fontion de /«, comme le faisait Delaunay.

Nous aurons avantage à employer, au lieu des arguments (V/, les suivants :

X = «'l iV2, Il = iVi-\- (V3, t.2 = tPi -f- IV4, 'Û3 = (V.,.

De cette façon, dans le coefficient d'un terme dépendant du sinus ou du cosinus de

p-Z -^ pi-Z\^ Pi'^.-i-^- p:r-Z,

l'exposant de E/ sera au moins égal à | /;; |.

Nous partirons de la formule (20) du n'^ 3i20 :

dx—dii"--=yk'ichvi—

*', chv^

Celte formule peut recevoir utilement diverses modifications r d'abord nous pouvons passer des variables w aux variables t; nous pouvons ensuite remarquer que $', se réduit à une constante (intégrale de Jacobi) lorsque E:t = o. Cela nous permet d'écrire

ft>'

-^ == K + Ea*,

K étant une constante et E;jfl> étant divisible par E;,. On a en efl'et 'l et G étant des fonctions de x^ jk, ^, X, Y, Z, de T3 := ^'^'3 et

96 CHAl'ITRi; X\I\.

des constantes E3 et a. D'ailleurs 'l est indépendant de E;) et T:j. Soit ensuite x* ce que devient le développement de x quand on y fait £3=0.

Soit 'I* ce que devient 'J> quand on y remplace 57, ... parx*, ...; alors '1* sera une constante, 'l — <ii* sera divisible par E;j, et nous pourrons poser

d;*=K, '^ — 4^*-+- E3O = lia*.

On a donc

Y a;- diVi— ÎIA^ = B rf- + B; f/T, + B. ck.^ B, dzs— E3* dz;,

d'où

^xdX — du" ^^^d^ — '*^:i * ^'''■■i •

Les B sont des constantes, de même que les A^- et K; je veux dire par là qu'ils dépendent seulement de

E|. E2, Ei, a, m

et sont indépendants des t.

Posons

Xo et j)^o étant les termes de degré zéro calculés au Cha|)itre XXV; ::i représente l'ensemble des termes déterminés au Chapitre XXVI (comme z ne contient pas de terme de degré zéro, on aura Zç, :== o) ; ]1 Aiendra

r/S = "V (a: — 370 ) <iX — Y X f/.ro

^- ( ;; ^, ) (/Z — Z dz^ — y B ^T -+- E., * dz-i

Dans cette formule (1), on doit regarder E,, \L-,^ 11^ et les comme des variables; au contraire, E3 et a sont des constantes données, de sorte qu'on aura

dVji, = dcf. = ().

J'ajoute que dans cette formule "Vl-^ — -^o) dJ^ et 7 X c/j;,, rc-

présentent simplement

(x — Xo) d\-]- (y — jKo)<^Y, Xf^^o+YcZ/o-

361. Cela posé, supposons qu'on ait déterminé les termes d'ordre k et d'ordre inférieur de x et de y, de X et Y, de S et B, les termes d'ordre k — i de z et Z, et qu'on ait par conséquent

(2) x = Tic, y =-' yk, z = i;/,i, S = S/,,

Je pose

(3) x = xi,^ox, y ^ y/,-^8y, ...,

et je me propose de calculer ox, oy, SS jusqu'aux termes du (A -f- i)"^""^ ordre inclusivement, ^s jusqu'aux termes du A-'^'"'' ordre.

Substituons d'abord dans (i) à la place de toutes nos variables leurs valeurs approchées (2), la différence des deux membres sera du (k -+- 1)"^""= ordre; nous pourrons la mettre sous la forme

Il et ç étant des fonctions connues.

Substituons maintenant à la place de ces variables leurs valeurs approchées (3) en négligeant les puissances supérieures de 8^7, . . ., ce qui est permis puisque nous négligeons les termes d'ordre k + 2; il viendra

d oS = \ 8x d\ -+-/ {x — ^0 ) û? SX — ^ SX dxo -f- Ss dZ

-^ {z — zi) doZ — oZ dzi — ^ 8B dz -i- E3 S* dz^^^u dv.

Le second membre est susceptible des simplifications suivantes : considérons-en d'abord la première ligne ; comme ùx et oX sont d'ordre A ' + i, nous pouvons remplacer x el \. par Xq et Xq. De même dans la deuxième ligne, comme ùz et ôZ sont d'ordre A", nous pouvons négliger dans leur coefficient 3o qui est de deuxième ordre et remplacer 3 et Z par Gi et Z, .

Enfin 8$ est d'ordre A -h i , car

2d<i> ^ '^ d<P ^., f/* ^ d<î> ^^ dx Jmi d\ dz dL

Or ox et oX sont d'ordre /i + i , oz et oZ sont d'ordre /:,

mais -77 et -Ty sont divisibles par Eo et par conséquent du premier

ordre. Comme d'ailleurs E3 est du premier ordre, nous pourrons négliger E3 ôO et il restera

c? ôS = \ Sa? <5?Xo — ^ SX c^a^o (5) { x^ ^