Passons maintenant au second cas

2° UL est divisible par Eo, mais pas par E, .

Alors nos fonctions dépendront de (V-, (c'est-à-dire de To), mais . pas de «'3 (c'est-à-dire de t,), et l'équation (8) s'écrira

(8 bis) — G — Oti — Ùrt4 -;— ^ •

Comme le second membre ne doit pas avoir de terme constant, et aue -T— ^ n'en a pas, ôH ne sera autre chose que le terme constant de G; ôH étant ainsi connu, les éc|uations (12) donnent

Or V ne dépend que de m^ v, n'intervient pas et v^ est constant; on a donc

y ÔB-— - = ÔB2-:7rr-

= SB, d'où

= B,-7TT^ +ÔB,

dm rfSvj dv^ , Vo '^^

dh^ db.2 «E2 .Àmà dho

Nous prendrons 0B2 arbitrairement (en le prenant toutefois nul si

les exposants q de la cai^actérislique ne sont pas tous pairs). Tout

sera connu, saut '; nous en tirerons donc cette quantité et par

conséquent

puisque ovo est homogène d'ordre q^ — 2 en E2.

Connaissant 0V2= 0/14, nous connaîtrons le second membre de l'équation (8 bis) et par conséquent oS à une constante près qui est nulle, puisque oS est une fonction impaire.

Cela posé, venons aux équations (5); elles nous donnent

<iSS . dZ^ rsr, dzx '^y dv

C/E2 <r/E2 d)^j, A^ <iE2

<ioS , dZx S7 «^^2 SR , "V , ^'^ .

—. — = oz —, oZ -7 ot5,-H > u— — ;

axo axo a~9 .«i:^ axo

M, v^ ^,, Z| sont des fonctions connues, SBo a été choisi arbitrairement, on vient de déterminer SS; nous pourrons donc déterminer sans intégration les deux inconnues restantes ùz et SZ à l'aide des équations du premier degré (16). Le déterminant de ces équations,

c/Zi dz^ dz\ dZ\

dH^ dii d\Li d'i

ne peut s'annuler, car il se réduit à une constante; on n'aura donc pas, pour résoudre les éc[uations (16), à eflfectuer de division. , Les équations (5) nous donnent ensuite

<ioS ^„ ■^ dv

d-îs ^ J^ dz-i

ce qui montre que 0B3 est égal au terme constant de ^""tt"' Les équations (12) donnent

doH , f/Sv, ^„ (/v ^ <r/v2 ^^ r^ '^9

dm ' dm dm ' dm Xu dm

Tout étant connu excepté oB, cela détermine SB.

Venons enfin aux équations (i5)- Dans ces équations, T| n'inter-

venant pas, tout se passe comme si ùc était nui; og^ — est connu;

on vient donc de déterminer ôS et SB; tout est donc connu, sauf

8x, 8j, SX, ôY.

Ces quantités se détermineront donc facilement par l'intégration des équations (i5); on démontrerait comme au numéro précédent qu'il ne peut pas s'introduire de termes séculaires.