Passons au troisième cas

3° UL est divisible par E, et par Eo. On peut alors éviter une intégration.

Les équations (5) nous donnent

d 5S ^ dv

7E7 ^2d"dE['

car ;27o, Xo, z^, Z, ne dépendent pas de E, ; si alors ôS et ç sont homogènes de degrés q^ et A' en E,, on en tire

gi SS =2'''"^'

ce qui détermine ôS.

On a ensuite

<:/8S ^ dZj dE2 ~ " c/Ea

^^ dzi ^ dv at.2 y^d dt,-.

dx^ "~ dx^

^„ dzx ^^ y^ dv

— oz -p-î- — SB, -^ y ii-f—

dx.y ^^ dx^

ce qui détermine àz et ôZ, la constante SB2 pouvant être choisie arbitrairement. Puis

<r/ûS ^^ "V^ dv d 8S ^,-, ■^ dv

— ; — = — 083-+- > u-r-' —, — = — oB,-i- > u-j—}

dxs At^ dx^ dxi jBMd axi

ce qui montre que SB3 et oB, sont égaux aux termes constants de

dv "v^ dv

dXi AsÀ dxi

Il reste à déterminer SB et S»', d'où dépend ovo ; pour cela nous nous servirons des équations (12), qui nous donnent

---- = B2 -^T^ + > oB -— - -+■ > Q-jrj-'

dEi «El .^^ d^i jLà dKi

io8 ciiAPiïiU': XXIX.

Dans le coefficient de 8B, nous pouvons remplacer les v par leurs valeurs approchées, v = /^, — n^-, Vji^CoV, ...; dans ces conditions, les V ne dépendent pas de E, et il reste

et l'on aurait de même

d oH d ov., -^ dq

dE.2 ' dE.

et l'on en déduit

^, oH =62(^2— -2)07.+ y A-'Q^,

q étant supposé homogène de degrés A" et k' tant en E, qu'en Eo. De ces deux équations on tirerait ôH et ôvo (d'où og).

Le procédé deviendrait illusoire pour q^ = o, mais dans ce cas l'argument -12 et par conséquent Svo n'interviennent pas.

On trouve ensuite

d SU f/ovo ^„ «?v

dm dm dm

.^sé dm jm^ dm

d'où l'on tire oB.

On déterminera enfin S^, oj/", oX, ûY par le moyen des écjuations (i5); dans les seconds membres tout est connu, à l'exception de la constante 8c. On disposera de cette constante de façon à faire disparaître les termes séculaires, qui cette fois ne sont pas nuls d'eux-mêmes. La détermination de toutes nos inconnues est donc achevée.

368. Cette méthode a été exposée, mais sous une forme et avec des notations différentes, dans le Tome XVII du Bulletin astronomique, p. 87 et 167. Quand on veut l'expression analytique des coefficients, elle présente l'avantage de rendre plus rapide le travail de substitution (puisqu'on n'a qu'à faire les substitutions dans $', , au lieu de les faire dans les trois dérivées de cette fonction) et d'amener à l'intégration d'un système du deuxième ordre au lieu du quatrième. Elle est susceptible de plusieurs variantes •

SECONDIi MÉTHODE. 109

1" jNous pouvons employer un artifice analogue à celui des n"^ 327 et 347, en envisageant un problème plus général que le problème proposé. Nous avons

^/ SX- 7?2|-i-/n7 ^ ,, ^ „ '-t37- — y- — z-

*i = — h«2(X7 — Ya7) — «I n:,&,

le dernier terme — nl^ représentant l'ensemble des termes contenant en facteur a ou E3. Prenons la formule plus générale

— ?lr, 3/i- — —^ //-0,

qui se l'éduit à la première pour h := /I2. Au n" 347, nous avons

posé

n-2^= py, h ^ m V ;

nous poserons cette fois, ce qui revient au même,

«2 = «IV, h = ^ni'/.

Nous appliquerons ensuite la méthode en développant, non plus seulement suivant les puissances de a et des E, mais suivant celles de [5, de a et des E, de telle façon que .Tq, par exemple, représente l'ensemble des termes indépendants de a, des E et de [^. Le nombre des termes à calculer se trouve un peu augmenté; en revanche, ^o^J^'o? ^05 ^o? ^\i ^1 se réduisent à un seul terme en cos T, siiiT, cosTo ou sinT2-

2" On pourrait, au contraire, achever d'abord le développement par rapport à a en regardant les E comme nuls, puis développer ensuite par rapport aux E, en regardant x^ par exemple comme l'ensemble des termes de degré zéro par rapport aux E seulement, mais de degré quelconque par rapport à a. Ou bien développer d'abord par rapport à E, et E2, et ensuite par rapport à a et E;). Gela entraine dans la méthode quelques petites modifications sur lescjuelles nous n'insisterons pas.

3" Au lieu de prendre les coordonnées rectangulaires x^y^ z et leurs variables conjuguées X, Y, Z, on peut prendre les coordonnées polaires et leurs variables conjuguées. La méthode fondée uniquement sur les propriétés des équations canoniques restera applicable, sauf quelques modifications de détail.

Théorèmes d'Adams.