APPLICATION DES FONCTIONS DE BESSEL. I

et le long du second argy/^ — i^= j; nous aurons donc

d'où

(i4) 7rJ„,= / E'>=E ^ ^'.l -i E'--E -^ ^7: .

Mais nous pouvons remplacer les limites supéx'ieures dii + e^ des deux intégrales par l'infini ; car nous ajoutons ainsi aux chemins d'intégration des lignes le long desquelles la partie imaginaire de z est positive et notable de sorte que E^-^^ est négligeable.

Donc

d'où

ou enfin

J, \/z -h V cr '

226. Voyons maintenant comment les transcendantes de Bessel peuvent être employées au développement des coordonnées du mouvement elliptique. Considérons l'exponentielle

Epi"', -

où p est un entier; c'est une fonction périodique de u et par conséquent aussi une fonction périodicjue de /. Elle est donc développable en série de Fourier sous la forme

il s'agit de calculer le coefficient A;„; la formule de Fourier nous donne

2tcA,,, = / EP'"E--"'''(3?/.

E-'"'/ dl = ~ dE-""' ; dEi''^'' = in E/^'" du . m

On trouve donc en intégrant par parties

/27t Ep^'"E-''"' du,

ou à cause de l'équation de Kepler

Mais l'intégrale c'est évidemment au facteur 2 7z près le coefficient de E(m-p)iii (Jans le développement de £'""'*'""; elle est donc égale à

d'où la formule cherchée

227. Cette démonstration ne s'applique plus pour /n = o et d'ailleurs la formule devient illusoire. On a alors

2 7rAo= /

•2 7T Ao = / E'''" (i — e cosu)t

271 Ao = / ( E/"«— - K(/^+i)'« — - E^/^-i'i'M du,

ce qu] montre que Ao est égal a i pour/» = o, a — - pouryj =ri:i^

et à o pour toutes les autres valeurs de p.

228. Proposons-nous maintenant de développer suivant les exponentielles E'"'-^ une fonction périodique quelconque de u