Soit maintenant

H4=aEt -f-26Ef E| +cEt Soient

vi= À,-^ ;j.iEi -+- [J.'iE| -^...,

V2 = Xo -+- [i.2 Ef -H [jl'o E5 -H . . . ,

Bi=pEf+..., B2=YKi+..-

les premiers teriïies des développements de V(, vo, ^, y suivant les puissances de E, et de E^; ces coefficients a, b, c, )., [j., ^, y sont eux-mêmes des fonctions de Eu ou de a, ou de E3 seulement si nous supposons a = o.

Les équations (17) nous donnent alors

4 « Ef -f- 4 é El El ^ . . . = '2 ;3,ui Ef ^ 2 y;jl2 Ei E| + . . . , 46E?E2^4cEi -f...= 2,3[jiiE|E2+2Y[/iE| +...,

2a = jjfJLi, 26 = 3ijl', = yao, 2C = Yî^-'oi

ah h c

C'est là une relation entre les coefficients du développement de V, et de vo, et par conséquent de c et de ^ d'une part, et ceux du développement de H, et par conséquent (en supposant a = o) du

terme constant de -• /•

372. Pour étudier l'action d'une planète troublante sur le système formé par le Soleil et une planète troublée, on commence par former les équations du mouvement de ce système comme si la planète troublante n'existait pas. Ce mouvement est alors képlérien el, en seconde approximation, on étudie les perturbations de c^ mouvement képlérien par la planète troublante; pour cela on applique la méthode de la variation des constantes.

Nous opérerons absolument de la même manière pour étudier le mouvement du système quadruple formé j)ar le Soleil, la Terre. la Lune et une planète. Gomme première approximation, nous intégrerons les équations du mouvement du système triple : Soleil, Terre, Lune; c'est ce que nous avons fait dans les Chapitres précédents; nous avons obtenu ainsi les coordonnées des trois asti'es de ce système en fonction du temps et d'un certain nombre de constantes d'intégration C. Nous devons ensuite étudier les perturbations de ce mouvement par la planète, c'est-à-dire déterminer les petites variations des constantes C dues à l'action de cette planète. Cette façon d'appliquer la méthode de la variation des constantes a été proposée et mise en œuvre par M. Newcomb.

Reprenons les notations des n"* 42 (t. I, Chap. II) et 312 (Chap. XXIV). Soient

A la Lune,

B le Soleil,

C la Terre,

P la planète,

D le centre de gravité du système Terre, Lune,

G celui du système Terre, Lune, Soleil.

ii4

Soient

a^i, 37-2, ^3, mi = ma = m^ les coordonnées et la masse do A;

3^4, ^Tg, ;rg, m4 = 7?l3 = m 6

^Py, a?», ^9, fn^ = mj = m g

3710, a?ii, ^12, Wio=/«ll=mi2

Soienl

yi=mi

dxj ~dt

x\^ a^'j, x'^ les trois projections de AG a?',, a?'-, ^'« )) BD

lOî ■*'in

Soient

nx. = m, = m\

7?li H- 7?l-

/?ii H- ;?Î4-i- /n7'

7?? I 0 ( /7li ■+- 77^4 -\- m- ) 771 1 -H 77i4 -t- 771 7 -H /7( ] o

Ji = '»

l'énergie cinétique et

' inxTn<^ niiin-, jn'^m-

/77io7?îi nixt^ni:^ nixciin-,

l'énergie potentielle; F = T + U l'énergie totale; nous aurons leséquations canoniques

dx'i d¥ dt ~ dy'i

dy'i dt

dx'i

Nous diviserons T et U en plusieurs parties; nous poserons

T = Ti+T2+T3,

U = U, + U2+ U3-h U4+ U5+ Ue,

ACTION DIÎS PLANÈTES. I I 5

T3=-y^ {i^io, II, 12),