PG
On voit que T, et U) dépendent seulement des coordonnées de la Lune (et des y'- correspondants); To et Uo des coordonnées du Soleil; T3 et U4 de celles de la planète; U3 de celles de la Lune et du Soleil; U5 de celles de la planète et du Soleil, et enfin Uo de celles de la Lune, du Soleil et de la planète.
373. Il faut maintenant voir quel est l'ordre de grandeur de ces différentes quantités. Je supposerai que l'on ait pris une unité de longueur de l'ordre de BD, de telle sorte que AC soit de l'ordre de la parallaxe a, ce que j'écrirai
BD-^i, AG-^a;
je prendrai de même une unité de masse de l'ordre de la masse du Soleil /?^4, de sorte que
Pour les planètes inférieures, on aura
/«lO r^ 7}It, PD ~ 1.
Pour les grosses planètes, /?z,o sera beaucoup plus grand que ^7^^ ;
Il6 CHAPITRE XX\.
mais en revanche PA, PB, PC seront beaucoup plus grands que i, et cela fera une sorte de compensation; nous admettrons donc
dans tous les cas
mio^ m-, PD ~ I.
Nous trouvons ainsi
Ti^^ Ui
nii m-j
U3 ~ CL-JUi, T3-U4-m7,
jNous poserons maintenant
F' = T,,+ T3+U2+Uv+ U5,
F'; = Ti + Ui+U3, f"=f'; + Ug.
Nous observons :
1° Que F' ne dépend pas des coordonnées de la Lune;
2° Que U3 et Uc sont négligeables devant F' ;
3° Que T, et U| ne dépendent que des coordonnées de la Lune.
11 en résulte qu'en ce qui concerne les coordonnées du Soleil et de la planète, nous pouvons nous contenter des équations
, ^ dx'i dF' dy'i d¥' . . , . „ .
^^) -^=^.' iï=-dP, (^ = 4,3,6,10,11,1.).
Pour la détermination des coordonnées de la Lune, nos équations se réduisent à
, , dx'i d¥" dy'i dF"
374. En première approximation, nous négligerons U5 devant F'(,, etUo devant F|). Dans ces conditions, nos équations se réduisent à
'/ / • ^ dx', dFL dy'i o?F'„ , . , . „ .
(•^") -dj^w^: ii=-^, (. = 4,o,6,io,u,i.),
dx'i <iF; dy'i dF\ , o - \
^^^") -dï^Wi' -dt^'-d^i (^=''^'^)-
Or on voit que F|, se compose de deux parties, l'une dépendant seulement des coordonnées du Soleil et l'autre de celles de la planète, et queF'|, n'est autre chose que la fonction m\ <!>, dun"312 (Cliap. XXIV). D'où cette conséquence que, si l'on se borne aux équations (i bis) et (2 bis), le mouvement du Soleil B par rapport au point D et celui de la planète P par rapport au point G sont des mouvements képlériens.
D'autre part, le mouvement de la Lune par rapport à la Terre est celui quia été étudié dans les Chapitres XXV à XXIX. Nous supposerons donc qu'on a complètement déterminé ce mouvement en appliquant les procédés exposés dans ces Chapitres.
Les quantités
^'n y'i (i = 4, 5,6, 10, ir, 12)
s'exprimeront donc en fonctions du temps et des douze éléments (canoniques ou elliptiques, cf. n° 08) de l'orbite de B autour de D et de celle de P autour de G, ou bien, si l'on préfère, en fonctions des deux longitudes moj-ennes de B dans son mouvement képlérien autour de D et de P dans son mouvement képlérien autour de G, et des dix autres éléments (canoniques ou elliptiques) des deux orbites.
Les quantités
pourront s'exprimer en fonctions du temps, des six éléments de l'orbite elliptique de B autour de D et de six autres constantes d'intégration, ou bien encore en fonctions : i" de la longitude moyenne du Soleil, c'est-à-dire de l'argument T3 ; 2" des cinq autres éléments de l'orbite elliptique du Soleil; 3" des trois arguments T, T|, To ; 4" des trois constantes E|, E^, m (ou de trois fonctions quelconques de ces trois constantes et des cinq éléments de l'orbite solaire).
37o. Ainsi nos 18 variables x'^jy'- se trouventexprimées en fonctions de 5 arguments variant proportionnellement au temps, qui sont les deux longitudes moyennes de B et deP, et les trois arguments t, T(, To, et de i3 constantes d'intégration.
Quand on a intégré les équations (i bis) et (3 bis), on connaît
Il8 CHAPITRE XXX.
les relations qui relient les i8 vai^iables, ces 5 arguments et ces i3 constantes.
Supposons maintenant que nous poussions plus loin l'approximation et que nous revenions aux équations (i) et (2). Nous pourrons alors définir 18 variables nouvelles qui seraient liées aux 18 variables anciennes x' et y' par les mêmes relations que l'étaient nos 5 arguments et nos i3 constantes quand nous nous contentions des équations (i bis) et (2 bis). Ces 18 variables pourront être regardées comme les élémeiiLs oscillateurs des trois orbites deB autour deD, de [^autour de G, de A autour de C. Seulement ces éléments osculateurs ne seront plus, les uns des fonctions linéaires du temps, les autres des constantes; tout ce que nous pouvons dire, c'est qu'à cause de la petitesse des termes complémentaires U5 et Uo, les uns varieront à peu près proportionnellement au temps, et les autres très lentement.
Opérant tout à fait comme au n"79(t. I, Chap. IV), nous allons faire un changement de variables en prenant pour variables nouvelles ces 18 éléments osculateurs; mais, pour l'application de la méthode de Lagrange, il convient de choisir ces variables (cjue nous n'avons pas encore complètement définies) de telle façon que la forme canonique des équations ne soit pas altérée.
1° Pour les 6 éléments du Soleil, nous choisirons les éléments
canoniques
L, ^i, ^2, /m ■'il) '^21
définis au n° 08. La longitude moyenne X n'est autre chose que aiotre argument T3 ; d'ailleurs \Jc,'\-^-r\\ sera de l'ordre de E3, et pourrait jouer le même rôle que E3 dans l'analyse des Chapitres précédents. Dans ces conditions,
< 3 ) < dy\ -ï- x'-^ dy'^ h- x'^ dy\ — IdL — ^ "n ^;
est une différentielle exacte, ce qui est la condition pour que les équations conservent la forme canonique.
2° Pour les 6 éléments de la planète, nous choisirons également les éléments canoniques
du n" 58. Mais d'ailleurs ces éléments ne joueront aucun rôle dans
ACTION DKS PLANKTKS. II9
l'analyse qui va suivre; et en ce qui les concerne, les écj[uations (i) nous donneraient simplement les perturbations du mouvement de la planète par le système Terre-Lune supposé réduit à un point mathématique; ces perturbations ont été déterminées dans le Tome I.
3" Pour les 6 éléments de la Lune, nous prendrons les 3 arguments T, T, , To et les 3 constantes B, B, , Bo du Chapitre précédent. Si nous rapprochons les formules
y x' ^y = y xd\^{\y—Yx) du,
2 ^ ^x - ^0" = V A' ^.^ - îi-;^s
*'i = *!-+- «2 (Xy — Y.r),
y a- fZX — dQ" r=: y B ^T — Es * dz3,
y ^' dy- da"=.y k'd^v - ii^
des n°^ 318, 320 (Chap. XXIV) et 360 (Chap. XXIX), nous pourrons écrire
m\ dQ!' = y .x'i dy'i — y m'i B ,• d-^i + />i'j E3 * ^^3 — /n'j ( Xr — Y:r) r/xg .
Toutes ces formules supposent que les éléments du Soleil, et en particulier E3, sont regardés comme des constantes. Si nous supposons de plus <iT3= o, nous verrons que l'expression
( 4 ) oc\ dy\ 4- x'^ dy'^ -\- x'^ dy'-^^ — m\ ( B <:/- -+- B , dx^ -+■ Bg f/x, )
est une différentielle exacte, en supposant que les six éléments solaires (en y comprenant E3 et T3 ) soient regardés comme des constantes.
Il vaudra mieux d'ailleurs écrire la relation précédente sous la forme suivante (en divisant par m'J,
d9J' = y 37' f/y— y B f/T+ E3* ^^3— (XjK— Y^) dxi,
ou, mieux encore, nous remarquerons c[ue -^3 ne joue pas le même rôle que les autres arguments t et nous mettrons en évidence le
l'^O ClIAPITllli: XXX.
terme en d'z^ en posant
IW- = B ch + B , f/xi + B2 dz.
et en écrivant par conséquent dans les formules précédentes
^B^^+B^r/Ts au lieu de\^Bc/-:, ce cjui donne
clQ" = ^x' dy" — Y B ^- — c/x3 ( W, E3 <i> — Xjk + Xx).
Nous rappellerons ensuite la fomnule
-1 = K + Ea* «2
du n" 360, et nous poserons
B3=-^-K. Nous aurons alors
(5) f/o" = y;r'^y'yBrfx-(G -*!)—;
cette formule suppose que tous les éléments solaires, sauf -3, sont des constantes. Si nous regardons de plus T3 comme une constante, nous aurons l'expression
( 4 bis) > ^' dy" — X fi ^''
qui sera une différentielle exacte.
376. Nous n'avons pas à revenir sur ce qui concerne les équations (1). On intègre d'abord les éc|uations approchées (i his)^ c|ui définissent le mouvement képlérien de la planète par rapport au point G, et du Soleil par rapport au point D; on en déduira l'intégrale des équations exactes (i) parla méthode de la variation des constantes. Ce n'est pas autre chose que l'étude des perturbations mutuelles de la planète et du sj'stème Terre-Lune (supposé concentré en son centre de gravité D), étude qui a été faite complètement dans le Tome 1, Passons donc aux équations (2), que nous
écrirons
^ '^ di dy'i ' ûf^ Cf'a-^
Nous allons prendre pour variables nouvelles les éléments canoniques solaires et les six variables t, t,, To, B, B,, B.,. Les coordonnées x\ les y et ti" vont être des fonctions de ces six variables - et B, de 7:j, et des cinq autres éléments solaires que j'appellerai les y/.
La formule (5) suppose que ces y, sont constants; si on les regarde comme variables, cette formule doit être complétée et l'on doit écrire
( 5 his ) du" =2 '^' '^^^" "5 B ^T - ( G - * . ) ^' +2 ^' '^T''
en posant
«Yj AaÀ fl^(i
Pour savoir ce que vont devenir les équations (6) par ce changement de variables, il faut se reporter au théorème du n" 12. Dans ce numéro on envisage un système d'équations canoniques où. F dépend explicitement du temps; on fait un changement de variables, les variables nouvelles x' et )-' étant fonctions des variables anciennes x elj et du temps t. On suppose que
2, 3p' dy' — ^ X dy soit une différentielle exacte, en supposant di = o, et que ' x' df -^Sx dy — W dt
soit une diiïerentielle exacte pour cZ^ ^o; dans ce cas les équations conservent la forme canonique, mais la fonction F doit être remplacée par F — ■ W.
Nous pouvons appliquer ici ce théorème, car, les équations (i) étant intégrées, les éléments y/ et -U;, peuvent être regardés comme des fonctions connues du temps. Nous pouvons donc écrire
(5 ter) do: =: y x'dy" — V B d- + W dt,
en
posant
dt '^
et ]
les équations
deviendront
dB
dt "~
d'P.2 dt '
Tt "
en
posant
11 est bon de remarquer que cette analyse ne suppose nullement qu'on ait choisi pour les y/ les éléments canoniques du Soleil, qu'on peut tout aussi bien choisir des fonctions quelconques de ces six éléments canoniques et en particulier les éléments elliptiques.
377. Nous devons parmi les éléments solaires faire une distinction; les coordonnées x, y, z, telles qu'elles ont été calculées dans les Chapiti^es précédents, dépendent de t», anomalie moyenne du Soleil, ainsi que de l'excentricité solaire Es, et du grand axe de l'orbile solaire inversement proportionnel à la parallaxe a. Elles ne dépendent pas des trois autres éléments qui sont la longitude du périhélie terrestre et les angles qui définissent l'orientation de l'écliptique mobile par rapport aux axes fixes. Il en est de même de X, Y, Z et Q" ; ces fonctions sont également indépendantes de ces trois derniers éléments, que j'appellerai les éléments d'oj'ientation.
Nous avons écrit plus haut
?' dy" =\ X dX -+- (Xy — Y x) dis,
mais en supposant d^[i^= o. En regardant les y/ comme des variables il convient d'écrire
"V a?' dy" = V ;r <iX -f- ( \y — Ya;) c^-ts -t- V A,- d'(i, d'où
Si y< est un élément d'orientation, on aura du:' dX
€t par conséquent
d-{i ÂLoi d^ii
Qu'est-ce maintenant que A/? Si les trois éléments d'orientation yijya^Ys subissent trois accroissements f/yi, ch{'2i d'^^i tout se passera comme si les axes mobiles des .r, y, z subissaient trois rotations infiniment petites, par rapport aux axes fixes des x\^ x'.,, ^3. Si l'on s'arrange pour que les axes mobiles coïncident à l'origine des temps avec les axes fixes, ces trois rotations s'opéreront autour des trois axes et l'on aura
A2 = 7 x' ~- — y X -r— —Zx — x^,
.^1^ c/ys Msai ay^
K = yx''^-yx^=.Xy-Yx.
^ c/y» jLà f/ys
378. Si nous supposons que la masse m^^ soit nulle, les y^- se
réduisent à des constantes ainsi que — r^j et l'on a
^ dt
dt ' dt
On a d'autre part
d'où finalement
G est fonction simplement des B et des y/; les équations canoniques se réduisent à
^ £/G d-zi dG
dt ~ ~dz ~ ^' ~dt ~^'~~ d?>i '
Nous pourrons donc écrire
— dCi = V (iB H- vi ûfBi -t- V2 C/B2.
en regardant les y comme des constantes. Si nous rapprochons de la formule du n° 363
<iH = B ^v + Bi ^vi + B2 ^V2,
nous en tirerons
H — G= Bv + B,vi+ B2V2,
plus une fonction arbitraire des y/ que nous pouvons supposer nulle. Nous aurions pu déduire cette même formule de la formule (9) du n" 363 qui peut s'écrire
H = Bv + Biv, -+- B2V2+ BsVa-f- Kv3 et de la définition de G au n" 37o qui peut s'écrire
G = B3V3-1- Kv3.
379. Supposons maintenant que ;;z,o ne soit pas nul; alors —j~
ne sera plus nul, mais très petit; -p- ne sera plus égal à une constante, mais nous pourrons poser
L ^~i — - Ai2 dt '
£ étant très petit. Nous aurons d'autre part
d'où enfin
Nous pouvons poser encore
G = Go -H ôG,
Go étant ce que devient G quand on y remplace les y^- par leurs valeurs initiales et étant, en conséquence, fonction seulemenl de B, B< et Bo, et oG étant très petit, puis écrire
(G-*.)-Ir.î
ce qui nous donne finalement les équations
dB clK di dG dK
^ ' 'di ~ ~d^' di '~~ 'dB'' dB'
R étant très petit; nous pouvons dans les dérivées de R remplacer les variables par leurs valeurs approchées ; R et ses déi'ivées pourront alors être regardées comme des fonctions connues du temps. Ce seront des fonctions périodiques par rapport aux cinq arguments
t, 'Cl, Tj, T3, T4,
T4 étant l'anomalie moyenne de la planète, lesquels arguments, réduits à leurs valeurs approchées, sont des fonctions linéaires du temps. Les dérivées de R se présenteront donc sous la forme
%^Acos(a«+ P),
les A, les a et les [5 étant des constantes.
On aura alors les B par de simples quadratures; les B étant déterminés et les Y l'ayant été préalablement à l'aide des équations (i), il en sera de même des dérivées qui ne dépendent que des B et des y; on pourra avoir lés t par quadrature. C'est absolument ce que nous avons fait dans les Chapitres IV et V.
380. 11 y a une autre nianièic de comprendre l'application de la méthode de la variation des constantes. Si fn,Q était nul, nous aurions certaines relations entre nos variables a:'- , yj (^ ^ i , 2, 3), les éléments lunaires B et t et les éléments solaires T3 et y^; soient
ces relations. Si m,o n'est pas nul, de sorte que les éléments de l'orbite solaire soient variables, nous pouvons .conserver les relations (9) comme définitions des éléments osculateurs B et t ; c'est ce que nous avons fait jusqu'ici, mais on peut aussi opérer autrement.
Soient y" les valeurs initiales des y,; soit
tS = ni t + £0,
n!,' et £0 étant les valeurs initiales de 11., et de T3 ; remplaçons alors les équations (9) par les suivantes :
(9^^) ^i =/(B,t,yO,^o).
Ces six équations (9 bis) définiront les six éléments osculateurs B, B|, Bo, -7, -u,, To. Les B et les -r définis par les équations (9 bis) ne sont pas les mêmes que les B et les t définis par les équations (9), mais ils en diffèrent fort peu.
Remarquons que, les y", n°, Sq étant des constantes, les éléments solaires variables n'interviennent pas dans la nouvelle définition.
Que devient l'équation (5 bis)
On doit y remplacer les v/, «o et Tj par y", n" et Tj ; on a alors
"■■2 puisque les y)* et Sq sont des constantes, et il reste
dQ." = ^x' df— ^ ?,d-z-{Ç.^—^\)dt.
De plus, comme <Ï>| dépend des constantes solaires, il faut remplacer O, (qui est une fonction des x\ des y, de T3 et des y^) par ce que devient cette fonction quand on y remplace y/ et Tg par y" et -\ ; je désigne par ^\ le résultat de cette substitution, d'où
Nous aurons alors les équations
Tt ~' ~d^' 'dt ~~"dB
en posant d'où
*, = ^ - W = *, + ^ - (*« - Go),
*,= Go+R, R=I[^^(*j<î>o).
Remarquons que Go ne dépend que des B. Nous retombons donc sur des équations de la forme (8) qui se traitent de la même façon.
M. Newcomb [Investigation of inequalities in the motion of the Moon produced by the action of the planets, Washington, Carnegie Institution, juin 1907) emploie un procédé mixte; il
emploie, en effet, le procédé du n° 379 pour les éléments d'orientation et celui du n" 380 pour les autres éléments.
381. Eli général, les termes provenant de l'action des planètes sont fort petits et ne deviennent sensibles que par l'effet des petits diviseurs si la période est très longue. Ils ne seront le plus souvent appréciables que dans le cas d'une double intégration, qui introduit au dénominateur le carré du petit diviseur. Nous aurons donc la partie la plus importante d'un terme à longue période en nous bornant à l'intégration des équations suivantes :
dB dR dx dG
It ~~ 'ck' d( ~~ TÎB'
Nous négligeons ainsi dans le second membre de la seconde équa-
tion le terme — -j^ qui ne subirait qu'une simple intégration. Si
nous appelons SB, 8y, ot les inégalités dues à un terme donné oR de la fonction perturbatrice, et si g est ce que devient G quand on y remplace les B et les y par leurs valeurs initiales, nous pourrons, encore écrire
c/ôB c/SR d8~i yç d^G ^ "^ d'G «
^ '°^ ~dr " ~d^ ' ir ~~^dBidB/, °'^^'~ ^ dBjd^, ''''■•
!. Nous devons distinguer V action directe et V action indirecte d'une planète. Si l'action directe existait seule, tout se passerait comme si, le Soleil B et la planète P assujettis à décrire des orbites képlériennes, l'un autour de D, l'autre autour de G, la Terre et la Lune étaient soumises à l'attraction de ces deux astres mobiles; si l'action indirecte existait seule, tout se passerait comme si, la planète n'existant pas, le Soleil B était assujetti à décrire, par rapport à D, l'orbite troublée due à l'action de la planète.
Dans le cas des équations du n" 380, l'action directe provient du terme -^ et l'action indirecte du terme <Ï>| — $? dans "H ' L
ce cas, dans les équations (lo), on doit remplacer G par Go et les dérivées , , sont nulles, car Go ne dépend que des B .
Dans le cas du n" 379, on obtiendra l'action directe à l'aide des équations (8), en regardant les y^ et— ^^ comme des constantes.
et en réduisant Rau terme — ^ • On obtiendra l'action indirecte, en définissant les variations des y,- et de ~ par le moyen des équations (i) et en réduisant R aux termes
(G-*,,-Vr,§.
Lorsque la planète troublante est très voisine du Soleil, l'action directe et l'action indirecte sont sensiblement égales et de signes conti^aires.
En effet, soit G, le centre de gravité de P et B. Dans le cas qui nous occupe, le point G, décrira une orbite sensiblement képlérienne autour de D, analogue à celle que décrirait le point B si la planète n'existait pas, mais dont le grand axe, pour un même moyen mouvement, se trouve multiplié par
Si à la limite nous négligeons la distance PB, tout se passe pour l'action directe comme si la masse du Soleil était augmentée de /??!(, et, en ce qui concerne l'action indirecte, comme si la distance BD était multipliée par
/nio
il y a donc compensation en ce qui concerne les inégalités correspondantes (c'est-à-dire celles qui ne dépendent pas de l'angle PG,D).
Il y a compensation aussi pour les inégalités proportionnelles à la distance PB (et qui contiennent cet angle PG,D comme argument), car l'écart BG, multiplié par m.,, est égal à l'écart PG) multiplié par /?ï|o. La compensation n'existe plus pour les inégalités proportionnelles aux puissances supérieures de PB, mais ces inégalités sont beaucoup plus faibles,
383. Nous devons distinguer deux sortes d'inégalités planétaires périodiques. Celles de la première sorte sont celles dont l'argument ne dépend que de T3 et de -z^. Dans ce cas on a, en se reportant
aux équations (lo), d'où
