ACCÉLÉRATIONS SÉCULAIRES
385. Pour étudier les accélérations séculaires, nous devons d'abord nous reporter à ce que nous avons dit au Chapitre V^ n" 105, au sujet de l'invariabilité des grands axes.
Soit plus généralement un système d'équations canoniques
dxi dY dvi d¥ ^ ^ ^
[j. étant très petit. Je distinguerai deux sortes de variables Xt^ que j'appellerai les x'- et les x"^\ je désignerai de même pary^- eiy'i les variables conjuguées des x'- et des x\.
Je supposerai que Fq dépend seulement des x^ et est indépendant des x'\ des j^' et des jk"; quant à R, il dépend des quatre sortes de variables, mais il est périodique par rapport aux y' et aux y'^ Nous supposerons en outre que R dépend directement du temps; plus précisément, nous supposerons que R est périodique par rapport aux y' , aux y" et à un certain nombre d'arguments «' qui sont des fonctions linéaires connues du temps.
En première approximation, on a
dx' d¥^ dx" dt ~ dy' ~~ ' dt
dy\
dt
const., 3?"= const.,
y" = const.,
dy' dt
dF, dx
dFo
= f—r = const.
dx
Pour la seconde approximation, nous remplacerons dans les dérivées de R les variables par les valeurs approchées que nous venons de trouver et nous aurons
dx' dR
~dt ^ '■' ^' '
l32 CHAPITRIÎ XXXI.
et le second membre se présentera sous la forme d'une série trigonométrique.
En effet, R est une fonction périodique des y, des y" et des w ; les w sont des fonctions linéaires connues du temps, il en est de même des premières valeurs approchées des y'; quant à celles des j^', ce sont des constantes.
bi nous supposons qu il nj a entre les -y—, et les -3- (c està-dire entre les moyens mouvements) aucune relation linéaire à coefficients entiers, les variations séculaires ne pourraient provenir que de ceux des termes de cette série trigonométrique qui sont indépendants à la fois des y' et des w. Or tous ces ternies disparaissent quand on différentie R par rapport à y\ . Donc il n'y a pas de termes séculaires dans les x'^ .
C'est là la généralisation du théorème sur l'invariabilité des grands axes.
Appliquons-le aux équations (8) du Chapitre précédent. G va jouer le rôle de Fq, R^ celui de uR, les B celui des x' ^ les t celui desjK', et enfin T3 et T4 celui des w\ nous n'aurons pas de variables analogues aux x^' et aux j"", tandis que dans les équations (5 his^ du n" 93, Chapitre IV, les L, les A, les p et les w jouaient respectivement le rôle des x' ^ des j^', des x^' et des jk"; en première approximation on a
^ d-z dG
B = const. , ^- — r- = const.
' dt dB
En deuxième approximation on a
dB dR 'dt ~~ 'dz'
Dans le second membre on remplace les B, les y par leurs valeurs approchées qui sont des constantes, les -u, Ta et T4 par leurs valeurs approchées qui sont des fonctions linéaires du temps.
On obtient ainsi une série trigonométrique. Les termes de cette série qui sont indépendants à la fois des t, de T3 et de T4, et d'où il pourrait résulter des variations séculaires, disparaîtront quand on différentiera par rapport à t, à t, ou à -z-, ; donc les quantités B, B<, Bq n'épjrouvent aucune variation séculaire.
