AB AG BG
à la condition que l'on ait choisi les unités de telle sorte que la « constante de Gauss » soit égale à i ; nous pouvons le faire sans inconvénient, car il sera toujours aisé de rétablir l'homogénéité à la fin du calcul.
Dans l'expression de U, les dénominateurs AB, AC, BC représentent les distances AB, AG, BG.
L'énergie totale sera
et nos équations canoniques s'écriront (d'après le n° 7)
, dxi d¥ dyt d¥
dt dyi ' dt dxi
Nous désignerons d'ordinaire les trois axes de coordonnées sous les noms de axe des x^-, axe des Xo, axe des X3.
âL Intégrales diverses. — Le problème des trois corps, dont les équations sont les équations canoniques (2) du numéro précédent, admettent un certain nombre d'intégrales simples.
JNous avons d'abord V intégrale des forces vives
F = const.
Observons ensuite que notre fonction U ne dépend que des distances mutuelles des trois corps A, B, G; elle est donc indépendante du choix des axes ; elle ne change pas quand on imprime au système des trois corps un mouvement commun de translation ou de rotation.
Imprimons donc à ce système une translation infiniment petite e
dans le sens de l'axe des x^. Alors se changeront en
a?i-t-£, Xi^-^Z, Xt-\-Z^
et les autres x ne changeront pas.
L'accroissement de U devant être nul, on aura
d\] d\i ^U o dx\ dxi^ dxi
Mais il convient ici d'introduire une notation qui nous sera très utile dans la suite.
Nous écrirons par exemple
2 cp(^i) = cp(a7i)-+-cp(.r4)-i- cp(a77),
c'est-à-dire que le signe \^ , qui peut se prononcer, somme de
trois en Irois, a la signification suivante; ilreprésente une somme de trois termes; le premier est celui cjui est explicitement formulé, le second se déduit du premier en [augmentant tous les indices de trois unités et le troisième en les augmentant de six unités.
Ou, si l'on aime mieux, le second terme sera formé avec les coordonnées du point B, et le troisième avec les coordonnées du point C, comme le premier avec les coordonnées correspondantes du point A.
Dans le cas où l'on envisagerait non plus trois corps, mais n corps, on pourrait évidemment employer la même notation, mais le
signe 2, représentera non plus une somme de trois termes, mais une somme de ii termes.
Quand, au contraire, nous emploierons le signe ^ sans l'indice 3, la sommation devra être étendue à toutes les valeurs possibles des indices.
26 CHAPITHE II.
Avec cette notation, l'équation (3) s'écrit
^ dU
ou comme T ne dépend pas des a;
^ dF
d'où
d'où enfin
(4) ^ J>^i= const.
Le premier membre de l'équation (4) peut s'écrire
dxi dx^ dx-
c'est donc la projection sur l'axe des X\ de la quantité de mouvement du centre de gravité du système où la masse totale
ni-i + nl,^ H- m-i
serait supposée concentrée.
On trouverait de même
{^ bis) 2, JK2=const.; \ jK3=const.,
ce qui montre que les projections sur les trois axes de la quantité de mouvement du centre de gravité sont constantes. Le premier
membre de (4) est la dérivée de \^ m^x^] en intégrant (4) et (4 bis) on verra donc que
sont des fonctions linéaires du temps; c'est-à-dire que le mouvement du centre de gravité du système est rectiligne et uniforme. Nous ne restreindrons pas la généralité en supposant que le centre de gravité est fixe. Nous savons en effet que les lois du mouvement restent les mêmes, que le système mobile soit rap-
porté à des axes fixes, ou qu'il soit rapporté à des axes animés d'une translation rectiligne et uniforme.
Si nous choisissons alors des axes mobiles, parallèles aux axes fixes, et ajant leur origine au centre de gravité; la translation de ces axes sera rectiligne et uniforme de sorte que la loi du mouvement ne sera pas altérée ; pour un observateur lié à ces axes mobiles, le centre de gravité paraîtra d'ailleurs fixe.
22. Intégrales des aires. — Imprimons maintenant au système des trois corps une rotation infiniment petite t autour de l'axe des .Xi .
Les coordonnées J7|, X4, x^ ne changeront pas; tandis que :z?2i ^o? -'^s deviendront
et que x^, x^, jr<j deviendront
et comme U ne doit pas changer, nous aurons
dV dU
dxt dx-i
ou, puisque T ne dépend pas des x,
V / i^ ^^ ^ds \ ^ dx^ ' dxi '
ou, à cause des équations (2),
ou
dt^^^^-^y^--^^-y-^) = ^^
puisque l'on a identiquement
dxi dx=,
On trouve donc en intégrant
(5) 2j (^3jK2— ^2 J3) = CODSt.
et l'on trouverait de même
(S bis) 2, y^^Vi — ^1 j'2) = coQst. / ,,(.gi JK3 — ^syi) = const.
Les équations (5) et (5 bis) sont connues sous le nom d'intégrales des eûtes.
Il est évident que ce que nous venons de dire du mouvement du centre de gra\"ité, ou des intégrales des aires s'appliquerait sans aucun changement au cas où il y aurait plus de trois corps.
Considérons le vecteur dont les trois composantes sont
d'après les équations (5) et (5 bis) ce vecteur est constant en grandeur et direction. Il a reçu le nom de vecteur des aires; et le plan qui lui est perpendiculaire s'appelle ordinairement plan invariable.
Si 1 on prend le plan invariable pour plan des ^, ^o, le vecteur des aires a pour composantes
0) 0, 2^Jxiy2 — x^yi).
23. Changement de variables. — Le problème des trois corps comporte neuf degrés de liberté, c'est-à-dire que nous avons dix-huit variables x et y. On peut profiter de la propriété du centre de gravité pour réduire le nombre des degrés de liberté et par conséquent celui des variaJjles indépendantes tout en conservant la forme canonique des équations. C'est là l'objet des changements de variables que nous allons étudier.
Je désignerai nos nouvelles variables par
^i- y 11 Je supposerai d'abord que
sont des fonctions linéaires de
et de même que x'.,. x-, x\ sont des fonctions linéaires de jTo, x^^ J78, et 373, JCg. x\ de x-^. x^^ x^.
Je supposerai de plus que les relations linéaires qui lient x\, x\, X- k Xi. x^^ X- sont les mêmes que celles qui lient x'.-,, x\^, x'^ à cTo. ^'5. x^ et les mêmes encore que celles qui lient x.^, x^.
En d'autres termes, si l'on regarde les x' comme les coordonnées de trois corps fictifs, il y aura entre les coordonnées de ces corps fictifs et celles des trois corps réels des relations linéaii^es indépendantes du cboix des axes.
De même pour les y. Je supposerai ({^^ y\i x\} X-; sont des fonctions linéaires de j»^, , i'^, r-, gue j-'^, y'-, y\ sont des fonctions linéaires de^)-^. y-^. y^ et^r'g, y\, y\., de 1-3, y^. y^.
Je supposerai que les relations linéaires qui lient j' ',,->'',, jj'l à y^' y^'X' ^o^t ^^^ mêmes que celles qui lient y'.2-i Xî,-! y'% àj>'2? JKsjKsj ou bien encore 1-3, y^^ y^ à y-^, y^, y^.
Je supposerai enfin que ces relations linéaires sont telles que Ton ait identiquement
j^i yi ■
Comme^)-',. l 'g, r'g sont liés à ro. rj. j's par les mêmes relations qney\, y\^ y. à y,, j)'4, y-, on peut, dans l'identité ^d), remplacer
r<^ y^? r^,/,. r'r y'-, p^^^ y-^^ y-^^ y^-y-^ .n- y^^ ^^ q^^ donne S ^v.>'2 = y ^\yi-
De même, comme x\,^ x'^^x^ sont liés à .To, .^5. x^ par les mêmes relations que x\^ x^^ x'^^ à a?,, a?^, x-, on aura
y x'^y^ = y .r.2 ri et de même :
et plus généralement
3o CHAPITRE II.
OÙ l'indice i peut prendre une quelconque des trois valeurs i , 2, 3, et où il en est de même de l'indice k. On aura donc en particulier
d'où
et de même
'^(x\y'-i — x'.iy\)^2^S^^y^~^-iy^^
2(^2/1 — ^'172) = "y (^2^1— ^ijK2)- 3 -^"S
Noire changement de variables n^ altère donc pas la forme des intégrales des aires.
D'autre part, on a :
ou en ajoutant
(7) '^^'ifi = 2^'-^''
le signe ^ sans indice 3 indiquant, comme nous l'avons dit, une
sommation étendue à toutes les valeurs de l'indice i.
Mais si l'on se reporte au n'* o, on voit que l'équation (^) signifie que le changement de variables est un changement canonique. Il n'altère donc pas la forme canonique des équations (2) qui deviennent :
dt dy'i^ dt dx'i
24, Élimination du centre de gravité. — Voici maintenant l'usage que l'on peut faire de ce changement de variables. Je suppose que l'on ait choisi les relations linéaires qui lient les variables nouvelles aux anciennes de telle façon que l'on ait
^y'i^yi +74 -+-77,
LE FROBLÈME DES TROIS CORPS. 3l
et, d'autre part, que x ^ et x\ ne dépendent que des différences
ÛC \ ^^ oc '^ Cl tX- 4 JC ^ ,
Alors y,y est à un facteur constant près la quantité de mouvement du centre de gravité; et, comme nous avons vu qu'on peut toujours supposer ce centre de gravité fixe, on aura
et de même
On devra donc avoir, par conséquent,
dy\ ^F dt dx\
ce qui montre que F ne dépend pas de x\. C'est, en effet, ce qui doit arriver si les relations linéaires entre les nouvelles et anciennes variables sont telles que x\ et x!,^ dépendent seulement des différcnccs oc \ ■ oc '^ g i oc r^ ol ^ m
Dans ce cas, en effet, T, qui ne dépend que desj^ et pas des x^ ne peut dépendre que des j/' et pas des x' \ U, qui dépend seulement des différences^! — ^7, ^4 — ^7, x-^ — ^s? -275 — ^^^ x^ — ^9, x^ — ^9, dépendra seulement des variables x\^ x'.^^ ^3, ^'^, a?'^, a^'g, qui sont liées à ces différences par des relations linéaires, mais ne dépendra pas de x'.^ x\^ x\. Donc F ^ T + U ne dépendra pas de
D'ailleurs, il est aisé de voir que nos deux hypothèses ne sont pas indépendantes l'une de l'autre et que, 'i\ y\ est proportionnel à j)/-, +^4 +J/-7, les variables ^', et ^r'j ne dépendent que des différences x^ — ,277 &X.Xr^ — .277. En effet, reprenons l'égalité (6) que j'écris, en la développant :
^1 r 1 + ^4 JK4 + ^7 JK7 = ^'1 y\ + x'^ JK'i + x\ y\ .
Donnant à ,r,, ,274,^7 des valeurs égales; le premier membre devient proportionnel à jki -|-,X4 + J7, c'est-à-dire à jk'^ ; dans le second membre de notre identité, les coefficients de y\ et de y\ doivent donc s'annuler; donc ,27', et ,27'^ s'annulent en même temps que les différences x^ — x-j et X;^ — ^7, ce qui démontre que x\ et x\ sont liés à ces différences par des relations linéaires.
Nous supposerons donc quej^'^ soit proportionnel ày, -hJK/, + J'7
et que x\ et x\ ne dépendent que des différences x^ — x^ et OC i^ oc 1 •
Alors F ne dépend pas de x'.^^ x\^ x\^ et l'on a
On n'aura donc à s'inquiéter que des douze variables x', , xl, , . . . , •^6 5^17^'' •••iJKei^tle nombre des degrés de liberté sera réduit à six.
25. Élimination des nœuds. — Envisageons une première planète fictive dont les coordonnées soient a?'^, x'^^ x'.^ et dont la quantité de mouvement ait pour composantes y', , y.,, y'.^.
Le plan de l'orbite instantanée de cette planète fictive, c'està-dire le plan qui passe par l'origine, par la planète et par sa vitesse sera parallèle aux deux vecteurs qui ont pour composantes x\^ a?',, ^'.j, ex, y\^ y'^^ y'^.W?,evdiàoncT^eT^enàicvàdàYedi\\\ec\.ei\v\ ^ qui a pour composantes
Envisageons maintenant une seconde planète fictive, dont les coordonnées soient ;r'^,^'g, x'^. et dont la quantité de mouvement ait pour composantes j)^'^, v'g, y',..
Le plan de l'orbite instantanée de cette planète fictive sera perpendiculaire au vecteur V, qui a pour composantes
D'autre part, le vecteur des aires qui a pour composantes
est perpendiculaire au plan invariable.
Mais les sommes que nous représentons par Sa n'ont plus que deux termes; le troisième terme s'annule de lui-même puisque j^'^, y% et y'y sont nuls.
Chaque composante du vecteur des aires est donc la somme des composantes correspondantes de V et V. Le vecteur des aires est donc la somme géométrique des deux vecteurs V et V. Les trois vecteurs sont donc dans un même plan.
Donc, les trois plans, qui sont respectivement perpendiculaires à ces trois vecteurs, c'est-à-dire les plans des deux orbites instantanées et le plan invariable, sont parallèles à une même droite.
L'intersection des plans des deux orbites instantanées reste donc constamment parallèle au plan invariable.
C'est cette propriété qu'on a appelée assez improprement \ élimination des nœuds; sans doute parce que l'on n'a pas à envisager séparément la longitude du nœud de la première orbite et la longitude du nœud de la seconde, si l'on rapporte les longitudes au plan invariable.
Cette propriété ne subsisterait plus si l'on prenait des planètes fictives définies autrement que par le changement de variables que nous étudions; si, par exemple, on prenait, comme on le fait d'ordinaire, des planètes fictives dont les coordonnées et les vitesses par rapport à des axes fixes seraient les mêmes que les coordonnées et les vitesses des planètes réelles par rapport à des axes invariablement liés au Soleil.
