r-^[-dF) =ZM

lr^[-dr) -l,"'^{-df) >

en ajoutant ces trois égalités on trouve

v^ , / dx'i \ 2 v^ / dx,- \ '

(9 ter) '

OÙ cette fois il faut donner à l'indice i toutes les valeurs possibles. Cette équation exprime que la force vive des trois corps fictifs est égale à la force vive des trois corps réels. On a donc

Ainsi l'expression de l'énergie cinétique T en fonction des m' et des dérivées des x' , ou encore en fonction des m' et des y' ., est la même qu'en fonction des m et des dérivées des .a?, ou encore qu'en fonction des m et des y.

28. Ces relations (g), {ç)bis)el (g ter) sont susceptibles d'une interprétation géométrique très simple.

Soit Z un axe quelconque passant par l'origine, P et P' deux plans rectangulaires passant par l'axe Z ; soient a, ^, y les cosinus directeurs du plan P; soient a', ^' , v' ceux du plan P'.

La distance du point A (premier corps réel) au plan P sera

sa distance au plan P' sera

oc'xi -+■ p'^2-t- y'^3 ; le carré de sa distance à l'axe Z sera

{xcci-^px-i-^ Y ^3)^-1- (a' 371-1- ^'xo-+- y' ■■^3)^5

et le moment d'inertie du système des trois corps réels par rapport à l'axe Z sera

J = ^ 7n,[(aa?i-t- ^^2+ Y^3)^-+- (a'a^i -+- ^'x^-h y'^s)"]-

De même le moment d'inertie du système des trois corps fictifs, par rapport à l'axe Z sera

J' = ^ m\ [(ixx'y -+- ^x'^ -I- Y^'s) -^ {^ x\ -\- '^' x\ -t- y'^'s)"]-

En développant les carrés entre parenthèses, on verrait que J est un polynôme du second degré en a, J^, y; a', [i', y'; et qu'il en est de même de J'.

Le coefficient de a^, égal à celui de a'^, est égal à

dans J et à

dans J'; le coefficient de 2a[i, égal à celui de 2 a' [3', est égal à

^ miXiCC'2 dans J et à

^ 7/ 1 1 Ou 1 ce 9

dans J'.

En résumé, chaque coefficient du polynôme J est égal au second membre de l'une des égalités (9), (9 bis\ (9 ter) et le coefficient correspondant du polynôme J' est égal au premier membre de cette même égalité. Les deux polynômes J et J' sont donc identiques.

Donc, le moment d^ inertie des trois corps fictif s par rapport à an axe quelconque passant par V origine est égal à celui des trois corps réels.

29. Il s'agit donc de déterminer les relations linéaires qui lient ^', , x'^, x. à ^,, .^4, 577, de façon à satisfaire à la condition (9).

Le problème comporte évidemment une infinité de solutions ; voici celle qui est la plus simple et la plus communément adoptée.

Fie. I.

Prenons OA' égal et parallèle à CA. Nous avons deux masses m, et m-j placées respectivement en A et en C; je représente en D le centre de gravité de ces deux masses. Je dis que nous pourrons remplacer ces deux masses par une masse m'.= nif -+- ni-, placée

au point D et par une masse m\ placée au point A' et telle que

jn\ in^ m-i

En effet, si je désigne par x\ , x'.,, x'.^ les coordonnées du point A', par x\^ x\^ x\ celles du point D, il est manifeste que x\^ x'.^^ x'.^^ de même que x'.^^ x\, x\^ seront des fonctions linéaires des coordonnées des points A et C; et, d'autre part, que nous aurons entre x\^ x^ et X'^ la même relation linéaire qu'entre x'.^^ x^ et ^g ou qu'entre x'g, x-i^ et ^9 et que nous aurons entre x^^ x^ et x-, la même relation linéaire qu'entre x\^ x^ et x^ ou qu'entre x'^, x% gl oc (^ •

Nous avons, en effet,

x\^^Xx 377, x\^ X=i 378, x'.^^=X^ Xoi.

m 7 x'-^ =zmiXi -h n^^ x-i , in'.^ x'^ = rn\X^-\- m-i x^ , m 7 x'oi = miXz-\-m-,X:j. [1 reste à montrer que nous avons bien la relation (9), ou que (10) m'y x'^ -H m'^x'-f' = m\x\ -1- iti-iX^,

ce qui revient au même, car, comme nous n'avons pas touché au corps B, nous avons

/7t'^ = «14, X'^ = Xi,, x'^ = a7.5, .57 g = X(,.

Or la relation (10) peut s'écrire

/n\ (xi — x-j y- -+- -, = ntiXi -+■ /HtXj.

En identifiant les deux membres, je trouve

m, H r = mi ; — /n, h ; — = o ; ni, -\ 7- = m-,.

Ces trois relations me donnent respectivement

m] /Hi ( /)ù — nii ) /?i] m-, /rt] — —, = — = -, —

, jiii ni-j m , = ;—

m-, ( /rt'7 — in-i) m\ m-j

Elles me conduisent donc à la même valeur de fn^ et l'on a d'ailleurs

I in\ jn\ -\- m-i i i

m\ mi/n-j inxin-i m^ in-j

La relation (lo) est donc établie.

30. Nous venons de voir que nous pouvons remplacer deux masses m) et ryi-j situées en A et en G, par deux masses

m\ -\- m-i. rn, — -

situées en D, centre de gravité de A et de G, et en A'. Nous aurons donc remplacé nos trois masses réelles

/ni, 7?i^, m-i situées en

par trois masses fictives

in\ , fUi, i?ii ■+- m-, situées en

Appliquons une seconde fois la même transformation et opérons sur les deux masses B et D comme nous avions opéré sur les deux masses A et G.

Menons donc OB' égal et parallèle à Y)ï^ et plaçons au point B' une masse fictive ni,^ telle que

I I 1 mi-\- m<^-^ m-i

Gonsidérons, d'autre part, le centre de gravité G des deux masses B et D; ce sera également le centre de gravite des trois masses réelles A, B, G, et plaçons en G une masse fictive

Nous aurons ainsi remplacé les deux masses B et D par deux masses

nouvelles B' et G.

En résumé, nous avons successivement remplacé les trois masses

réelles

/«î, ^4, in-j en A, B, G,

4o CHAPITRK II.

par les trois masses fictives

/n'i, 7?^4, ini-\-mi en A', B, D,

puis par les trois masses ficti\^es

>?r'i, m\, in\ en A', B', G.

Nous avons ainsi défini un changement de variables qui jouit de toutes les propriétés énoncées dans les numéros précédents.

Comme le centre de gravité est supposé fixe, le troisième corps fictif qui est en G doit être regardé comme fixe.

On n'a donc à s'inquiéter que du mouvement des deux planètes fictives A' et B', de sorte que le nombre des degrés de liberté est réduit à 6.

Les équations du mouvement conservent la forme canonique; les intégrales des aires conservent également leur forme.

L'expression de l'énergie cinétique T en fonction des masses et des vitesses fictives est la même qu'en fonction des masses et des vitesses réelles.

Au contraire, dans l'expression de l'énergie potentielle U, il faut conserver les masses réelles et leurs distances réelles. Mais nous devons observer que U ne dépend que des différences Xi — ^7, Xi, — Xt, etc.; donc U ne dépend que des coordonnées x\, ..., des deux premiers corps fictifs A' et B', et ne dépend pas des coordonnées du troisième corps fictif G (que nous supposerons d'ailleurs nulles).

31. On peut exprimer le résultat auquel nous venons de parvenir en disant que la première planète A est rapportée à des axes mobiles passant par le corps central G, ou plus simplement au corps G, et que la seconde planète B est rapportée au point D, centre de gravité de A et de G.

Ge résultat peut évidemment se généraliser; soit un corps central G et II planètes P,, Po, .. ., P„ ; on rapportera P, à G; P2 au centre de gravité de ?< et de G; P3 au centre de gravité de P,, de Po et de G; et ainsi de suite. Le procédé s'applique donc à un nombre quelconque de corps.

Il est clair qu'au lieu de rapporter A à G et B au centre de gravité de A et de G, nous aurions pu au contraire rapporter B à G et A au centre de gravité de B et de G.

LE PROBLÈME DES TKOIS CORPS. /Il

Dans ce qui va suivre, sauf avis contraire, nous supposerons toujours qu'on a adopté le changement de variables du n° 30 et non celui du n" 26. Nous poserons souvent

I I \ / I I -^ I -4- nirniL TT^ —

d'où

Us = m, m, ( ^ j + m,m, ,^ ^^

u = U,-+- Uo+U,

32. Cas où l'une des masses est nulle. — H y a des cas où l'une des masses est assez petite pour que les efFets en puissent être entièrement négligés. C'est ce qui arrive, par exemple, quand on étudie les perturbations d'une petite planète par Jupiter. Le mouvement de la petite planète est troublé par Jupiter, mais celui de Jupiter n'est pas troublé par la petite planète.

C'est ce qui arrive encore dans la théorie de la Lune. La masse de la Lune est assez petite pour qu'on puisse admettre que le mouvement relatif du Soleil par rapport au centre de gravité Terre-Lune n'est pas altéré par l'attraction de la Lune.

Supposons donc que la masse nii,, par exemple, puisse être regardée comme un infiniment petit du premier ordre. Nous aurons alors, à des infiniment petits près du deuxième ordre,

niL ( nii -H n^^ )

nix -\- mi^-\- m-,

Donc m\ sera un infiniment petit du premier ordre et il en sera de même de r, r r'-i r.- et par conséquent de "^j "^^ "^ • Nous

J hl ^ a^ ^ h 1 T jji^ ,ji^ ,fi^

pourrons poser

2 \ rn\ 711., m 3 / 2 \ «14 m~

Ti= -(-^-M--^^--^^ )' T,= i(^ +-^ +'^,-

Q.\rn\ 711., m-^l 2 \ «14 m.^ 7n^^

de sorte que T, et T2 représentent respectivement l'énergie cinétique de la première et de la seconde planète fictive et de même

7ni7n-, r)i\in<^ m-, tïi,.

4i CHAPITRE II.

Nous voyons que T, et To sont finis, tandis que U, et U2+ U3 sont du premier ordre; nous serons donc amenés à poser

F = *o-H'«4*i; 'l'o^Ti+U,; m^*! = T2-HU,-i- U3. Nos équations canoniques peuvent s'écrire

•^ dt dyi dyi dt dxi dXi

Pour la première planète fictive, c'est-à-dire pour ^ = i , 2, ou 3, nous voyons que '-—, est nul, puisque To ne dépend que de y',^^

, , c/*i , • 1- d^o , dy'i

JV55 jKoJ 6t que n^■^ -^—r est très petit, tandis que -j-r et -j- sont

finis ; nous pouvons donc négliger les termes en $, et nos équations s'écrivent

dTj d^o dfi ^ d^

dt . dy'i ' dt dx'i

Comme <ï>o ne dépend que de a?',, x'.,^ ^'^1 y\^ y'-ii y'-ii nous avons un système complet d'équations canoniques (12) à trois degrés de liberté; ce système définit le mouvement de la première planète fictive ou, ce qui revient au même, le mouvement relatif de la planète A par rapport au Soleil C. Ce mouvement est donc le même que si la masse m^ n'existait pas ; c'est donc un mouvement elliptique képlérien.

Eludions maintenant le mouvement de la seconde planète fictive, c'est-à-dire le mouvement relatif de la planète B par rapport au centre de gravité du système des deux corps A et C. Pour cela, reprenons les équations (11) et donnons à l'indice i les valeurs 4? 5, 6. Comme <ï>o ne dépend pas de ^',,, ^g, ^'g, y',^, y'~, y'^, ces équations se réduiront à

dx'i '^'^'ï'i dy'i d^i

^'^^ -dï^^^^Wi' -dT -=-"'' d^i-

Comme le mouvement de la première planète fictive peut être j-egardé comme connu, les quantités x\^ a?',, ^'3, y\^ y'.,^ y'.^ seront des fonctions connues du temps. Nous pourrons donc les remplacer dans <ï>, et dans ses dérivées par leurs valeurs en fonction du temps.

LE PROBLÈMIi: DES TROIS CORPS. 4^

JNous aurons donc, pour définir le mouvement de la seconde planète fictive, un système (i3) d'équations canoniques à trois degrés de liberté. Mais la fonction caractéristique $, dépendra non seulement des inconnues x,^^ ^l, x^ ; y',^^ y'-.^, y\.^ mais encore du temps. Nous serons donc dans le cas du n" 12.

Nous pouvons écrire les équations (i3) de manière à mieux mettre en évidence l'ordre de grandeur des différents termes. Posons, en effet,

y': = "A .r\ ' y'o = '^'^ .ri > ré = 'K y\ >

ou, ce qui revient au même, puisque m',^^= m'.^=i rn'^ et que l'on peut supposer m\^ in^ à des infiniment petits près du deuxième ordre ainsi c[ue nous l'avons montré plus haut,

Les y" seront finis, puisque les y' sont du premier ordre; et il viendra

et nos équations (i3) s'écriront

dx'i «(<ï>i dy'i d^\

dt dy"i ' dt dx'i

Ici les inconnues x' et y" sont finies et tous les termes de <ï>, se présentent sous forme finie; la masse ni;, ne figure plus nulle part dans les équations.

33. Dans ce qui précède, nous avons rapporté la petite planète B au centre de gravité de A et de C, et la grosse planète A au soleil C. Nous aurions tout aussi bien pu faire le contraire et rapporter la petite planète au Soleil, et la grosse planète au centre de gravité du Soleil et de la petite planète. Nous n'avons pour cela, tout en conservant nos relations, qu'à supposer que c'est la masse m, du corps A qui est infiniment petite.

La petite planète A est alors rapportée au Soleil C et la grosse planète B au centre de gravité D de A et de C; mais, comme la masse de A est nulle, ce centre de gravité D coïncide avec C, de sorte que la grosse planète est également rapportée au Soleil.

44 CHAPITRK II.

On aura alors, aux infiniment petits près du premier ordre,

mi (m, -t- m-; ) m,^m-,

mi-\- m^-h fn^ m,^-{- m-

et aux infiniment petits près du second ordre,

, niini-,

nii -i- m~,

Nous conserverons à T, et à Ta, à U,, U2 et U3 la même signification que dans le numéro précédent.

Ici, To et Uo sont finis, T, et U< + U3 sont du premier ordre ; nous poserons donc

F = «ï>o-4- mi*,, <ï>o=T2+U.2, mi*i= Ti+ Ui-l- U3,

et nous retrouverons les équations (i i), à cette difïerence près que «?4 y sera remplacé par m\ .

Si nous étudions d'abord le mouvement de la grosse planète, nous pourrons négliger $, et nous retrouverons le système d'équations canoniques (12), ce qui montre que le mouvement de cette planète est képlérien.

Si nous voulons étudier le mouvement de la petite planète, il nous faut, dans les équations (11), donner à l'indice i les valeurs 1, 1, 3; les dérivées correspondantes de <ï>o étant nulles, nous retrouverons les équations canoniques

Posons alors, comme au numéro précédent,

y'i == tn'if'i = m, j} (1 = 1, '2, 3 ), il viendra

et nous retomberons sur les équations (i4)-

34. Nous avons vu au n" 12 que, quand la fonction F dépend explicitement du temps, l'intégrale des forces vives cesse d'exister. Dans les équations (i4) des n°' 32 et 33, la fonction caractéris-

tique <I>i dépend non seulement des inconnues x' et y\ mais encore du temps; l'intégrale des forces vives <ï>, = const. n'a donc pas lieu.

Il en est de même des intégrales des aires. Que deviennent donc l'intégrale des forces vives et celle des aires, qui sont vraies dans le cas général, lorsque l'on fait tendre l'une des masses vers zéro ? Elles ne cessent pas d'avoir lieu, mais, à la limite, ce sont des relations entre les coordonnées et les composantes de la vitesse de la grosse planète, où les coordonnées et la vitesse de la petite planète ne figurent pas. Elles deviennent donc illusoires, en ce qui concerne l'étude du mouvement de cette petite planète.

En revanche, ainsi que nous l'avons vu au n" 12, nous pouvons faire subir aux équations (i4) des changements canoniques de variables sans en altérer la forme canonique.

35. Problème restreint. — Dans la suite, nous serons fréquemment conduits à étudier de plus près un cas particulier simple. Je suppose que, l'une des masses étant nulle, le mouvement relatif de la grosse planète par rapport au Soleil soit un mouvement képlérien; je suppose, de plus, que, l'excentricité de cette ellipse képlérienne étant nulle, l'orbite de cette grosse planète soit circulaire. Alors la grosse planète et le Soleil décriront des circonférences concentriques autour de leur centre de gravité commun et ces deux circonférences seront dans un même plan.

Je suppose enfin que, la position et la vitesse initiale de la petite planète étant également dans ce même plan, cette petite planète reste constamment dans ce plan.

C'est là ce que l'on appelle le problème restreint. On peut le traiter soit par le procédé du n" 32, soit par celui du n" 33. Dans les deux cas, la grosse planète sera rapportée au Soleil, mais la petite planète pourra être rapportée, soit au Soleil, soit au centre de gravité de la grosse planète et du Soleil.

Nous avons vu au n" 34 que, pour une petite planète, les intégrales des forces vives et des air es deviennent généralement illusoires. Mais, dans le cas particulier du problème restreint, il J a une combinaison de ces intégrales qui subsiste et nous fournit une intégrale du système (i4) connue sous le nom àHntégrale de Jacohi; c'est ce que nous verrons plus loin.