Etudions d'abord le terme F,,, nous avons
La première parenthèse ne dépend que de x\ , ic!,, x'.^, y\ , y!^, y'.^ ; la seconde ne dépend que de x',^^ Xg, ^[., y',, JK5, y'^- Si, en première approximation, nous négligions le terme très petit [jlF, et que F se réduisit à Fy, nous aurions
Fy et F'[, désignant la première et la seconde parenthèse du second membre de (i5), de sorte que
f; = Ti+u„ f; = t,+ u,,
dx'i dy\
dx'i dy'j et nos équations canoniques deviendraient
-^ fi?^ dy't dt dxi ^ ^ y h
(i(i bis) -^ = --— H, -~ = r-T (t = 4,5.G).
^ ^ dt dfi dt dy'i ^ ^' '
On pourrait alors considérer séparément le mouvement de la première planète fictive et celui de la seconde; car, dans les équations (16) figurent seulement les coordonnées et la vitesse de la première planète et dans les équations (i6 bis) seulement celles de la seconde planète.
Si nous examinons d'abord les équations (i6), nous voyons que I , , , ,, ni\ nxi
Le mouvement de la première planète fictive sera donc le même que celui d'une masse mobile m\ attirée par une masse fixe
nix m-,
; — = nxi-r- m-,.
Ce sera donc un mouvement elliptique conforme aux lois de Kepler.
Si nous passons aux équations {iÇ> bis), nous avons
^^ = 7^y"-^^''-^^^-^- — BD —
Le mouvement de la seconde planète fictive est donc le même que celui d'une masse mobile
nii -+- mr, -+- m-i
attirée par une masse fixe
niui ni] -+- m- ) ml
C'est donc encore un mouvement képlérien.
Comme les termes négligés piF, sont très petits par rapport aux termes conservés Fq, l'erreur commise n'est pas grande. Les orbites dilTéreront donc peu des ellipses képlériennes; et le?, perturbations subies par ces orbites elliptiques seront très petites.
38. Etudions maintenant la fonction perturbatrice [ji.F, . Je puis écrire
^^^= (bÏÏ - Â^) +'^''^^(â^ - A^) -^'^^"^KbÏÏ- B^
Le premier terme du second membre a reçu ^le nom de partie principale de la fonction perturbatrice; l'ensemble des deux derniers termes s'appelle la partie complémentaire de la fonction perturbatrice.
La partie principale peut s'écrire '
771 1 7?li
et il est intéressant de voir comment on pourra passer de l'expression de cette partie principale à celle de la fonction perturbatrice complète [i-Fj.
Supposons d'abord que
AC = \/x'^- -\- x'^ + x'^
soit pins petit que
BD = \J x'ç -+- x'? -f- x'^ .
Dans ce cas, l'expression
peut se développer suivant les puissances croissantes de x\ , x'.-,^ x'.^. Nous avons, en efFet,
(A'B')2 = (BD)2+(AG)2— aAG.BDcosY, et, par conséquent,
(17) ^, = [BD - AGe'T]-5-[BD - AGe-^rfS
où V est l'angle de la direction BD ou OB' avec la direction AC ou 6 A'.
Chacun des deux facteurs du second membre de (17) est déve-
loppable suivant les puissances de ^^ toutes les fois que cette quantité est plus petite que i . Il en est donc de même du premier membre et je puis écrire
Fb^=2
