AG

où P„ est une fonction de l'angle y.

Il serait d'ailleurs aisé de voir que le terme général de cette

série P„ T^pr — - peut être mis sous la forme du cruotient de deux

polynômes entiers en x\^ x'^, x'^, x[, x'-, x'^.

Je me bornerai à renvoyer, jDOur plus de détails, aux n"^ 22, 23, 24 de mon Ouvrage sur le Potentiel newtonlen (Paris, Naud, 1 899) et à la page 5o de mon Ouvrage sur les Figures d' équilibre d'une masse fluide (Paris, Naad, igoS).

Je reviendrai d'ailleurs sur cette question dans un Chapitre ultérieur quand je traiterai en détail du développement de la fonction perturbatrice.

Cela posé, le premier terme de notre série, qui correspond à

n = o,ne sera pas autre chose cpie ^^y de sorte que la partie principale de la fonction perturbatrice aura pour valeur

(18) -"^i"h2j^«BD^ITi'

où n peut prendre toutes les valeurs entières positives: 1,2, .... Maintenant, la fonction pertui^batrice complète pourra s'écrire

et nous aurons

BA2= {x'^~ a.x\y- + {x'^^ — ax'^y- -^ i^x'^— "J-x'^-,

BG2 = {x', - ^x', y- + {x'.^ - [3^', y 4- « -^x'^ y,

car on voit immédiatement que les projections du vecteur DA sur les trois axes sont a^-', , a^î,, a^g, et que celles du vecteur DC sont p^', , fjx'.-,^ ^^'-i-

On voit que les expressions de BA et de BC ne diffèrent de celles de A'B' que par la substitution de a^, , . . ., ou de ^~ix\^ . . ., à x'.

Nous aurons donc

AC» I v^ „ .. AG«

BA Zà "BD«+i' BG jU

BD«+i

où n prend les valeurs o, i , 4, . . , . Nous pourrons donc écrire

AG^^ BD"+i

LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. 5l

r^Y: '^^^ ^B""^ au premier terme de lu série Fq -g^

Mais :ôn ^^^ ^ê'^^ ^^ premier terme de lu série Pq -ôtt et, d'autre

part,

On a donc

Mais, pour /i = o, on a

a.3'^-f5a«=a-p = i et ?« j^T = 1^ '

le terme correspondant est donc détruit par le terme ^^•

Pour /? = 1 , on a a[îi" — ^a"=: o et le terme correspondant est nul.

Nous pouvons donc écrire

OÙ n prend les valeurs 2, 3, . . ., ou bien encore

[^Fi = — /Hi^

?ni ni'Jj ± m- m'I AC"

{jni-\- m-) BD"+i

(on doit prendre le signe + si /i est pair et le signe — si n est impair).

Ainsi donc, quand on a développé la partie principale de la fonction perturbatrice sous la forme (18) et que l'on veut obtenir sous la même forme le développement de la fonction perturbatrice complète, il suffit de multiplier chaque terme par un facteur constant convenable.

Ce facteur constant

{iHy-^ m-i)"-

est égal à 1 à des quantités près de V ordre de m^ pour n = 2, 3, ... ; et il est égal à o pour /i := i .

Donc, à des quantités près de V ordre ni^nif^^ c'est-à-dire du troisième ordre, la fonction perturbatrice piF, sera égale à sa partie principale, moins le premier terme du développement (18) de cette partie principale.

Cette partie principale sera égale à

^-BÏÏ^ (n = I,2, ...)

et la partie complémentaire à

(19) »ii"HPig^^

aux quantités près du troisième ordre.

Il est d'ailleurs aisé de transformer cette expression (19), qui représente l'ensemble des termes du premier degré dans le développement de

suivant les puissances de x[, x'.^, x\^.

Nous trouvons, en effet, en négligeant les carrés de x\^ x[,, x'.^^

mi nii.

I I Ou \ '^ h. I «^ o ^ K r^ ^ 'i ^ fi I

Il reste donc, pour l'expression approximative de la partie complémentaire.

TJIJ3 (^I X,^~{- X^X^-^r X^X^).

39. On peut arriver au même résultat par une voie moins détournée. Soit

lu. m-, -?r-^ — TT^;

la partie complémentaire à étudier. Comme -^tôt — Tr ^^^ ^^

l'ordre de m,, le premier terme est de l'ordre de ni^m,,^ c'està-dire du troisième ordre. Passons au second terme