Emploi de la Méthode de Jacobi. — Nous sommes donc
ramenés à étudier le mouvement d'un corps mobile attiré par un point fixe. Ce problème peut être résolu de bien des manières ; mais, en vue des applications qui vont suivre, il est nécessaire que nous le résolvions par une méthode particulière : par la méthode de Jacobi, exposée au n° 10.
Comme nous avons
i . ex mM
l'équation de Jacobi s'écrit
^ ' -2 m y\dxi) \dx^j \dxs/ J
y Co 1 — r~ «^ 9 r~CC ■>
= const.
Que devient cette équation quand on adopte de nouvelles coordonnées, soit rectangulaires, soit quelconques. C'est ce que nous apprend l'analjse du n" 11.
On obtiendra l'équation (3) transformée en faisant le changement de variables de Hamilton du n'^ 8 et en remj)laçant p^ par
-7— clans la nouvelle expression de F.
dçi ^
Si l'on adopte d'abord de nouvelles coordonnées rectangulaires x\, x\^ x\^ on aura (si l'origine reste au point C)
m \ [dx'i\^- / dx'.-^V^ I dx\
dt j \ dt ) \ dt j\ v j — • OC 4 "" ~T~ OC 2" \ oc o ^
et la dérivée de T, par rapport à — ^» sera
dx'i On aura
de sorte que la nouvelle équation de Jacobi sera encore
im Wdx\l \dx.^] \dx.J J ^x'^^ -^x'^ -^x'.^
La forme de l'équation de Jacobi ne change donc pas quand on change de coordonnées rectangulaires ou, en d'autres termes, la
fonction S satisfait aune équation aux dérivées partielles dont la forme est indépendante du choix des axes, pourvu que l'origine reste au point C.
Passons maintenant aux coordonnées polaires en posant
Xi = r sin Ç coso, Xi = /' sin^ sincp, œ^=^ r cosÇ.
Si l'on se rappelle l'expression de la vitesse en coordonnées polaires, on voit que l'on a
de sorte que les dérivées de T par rapport à
dr dX, do dt dt dt sont respectivement
r, dr „ ^dX, , 9 -, y do
R = m -T- , Z = mr^' ~ -, ^ — mr^- sm^ ç ^ ,
dt dt dt
et que l'on a
2 m L r'- >'^ sin^ç J
et
^ I fn. Z2 4>-2 1 niM
•1 m L ''^ /'^ sin^î; J /•
L'équation transformée de Jacobi s'écrit donc
L'équation (4) est d'ailleurs indépendante du choix des axes.
48, Il s'agit de trouver une intégrale de l'équation (4) dépendant de trois constantes arbitraires.
Cherchons donc à y satisfaire en posant
S = Si+G!;
et en désignant par j— - la constante du second membre.
Dans cette expression, S| désigne une fonction de /• seulement et G repi'ésente une constante.
Nous aurons alors
dS dSi dS p dS
