dJ^' d^ ^ ' d
et l'équation (4) deviendra
d'où
d'où
dr
wiM2 .
49. La solution que nous venons de trouver ne nous suffît pas encore, puisqu'elle ne contient que deux constantes arbitraires L et G. Mais il est aisé de la généraliser; nous avons vu, en effet, que la forme de l'équation (4) est indépendante du choix des axes; or 'C, représente l'axe du vecteur AG avec l'axe des x^. Nous aurons donc une nouvelle solution en prenant
S= Si+GÇ,
la lettre ^ désignant cette fois l'angle du vecteur AG avec une droite A quelconque passant par l'origine. Gette droite A, en efïet, aui^ait pu être choisie pour axe des .273 sans que la forme de l'équation (4) en eût été changée.
La nouvelle solution contient celte fois 4 constantes arbitraires, puisqu'il faut 2 constantes pour définir la direction d'une droite passant par l'origine ,
Une de ces constantes est superflue, nous assujettirons donc la
droite A à rester dans le plan des ^1, iPo et nous appellerons 9
l'angle de cette droite A avec l'axe des Xf. Nous avons alors trois
constantes
50. Nous n'avons qu'à appliquer la règle du n" 10 ; nous pose-
rons
dS dS dS dS
d^i^^'' dh^ ' dG^ ^' ^"'~®'
et alors /, g^ 0 seront des constantes ou des fonctions linéaires du temps; L, G, 9 seront des constantes. On aura
dl^d^ dg d\ d{ — Q)d^
dt ~ dL' lu ~ Jg' di ~ d%'
où <b désigne le second membre de l'équation (4) 5 on a donc
iV'
Nous aurons donc
dl /?i3M2 ds- de
dt L3 dt ' dt
Donc / est une fonction linéaire du temps, ^ et 6 sont des constantes. Nous poserons, d'ailleurs.
dl dt
51. Quelle est la signification de toutes ces formules ? Le radical
devant toujours être réel, le rayon vecteur /• ne pourra varier qu'entre certaines limites. Son maximum s'appellera la distance aphélie et son minimum la distance périhélie ; la moyenne arithmétique sera la distance moyenne et sera désignée para, tandis que les distances aphélie et périhélie seront respectivement désignées par
On obtiendra ce maximum et ce minimum pour lesquels le radical cesse d'êti^e réel, en égalant ce radical à zéro, ce qui donne
m'* M2 r"- — 1 m2 ML^ /• + G^ L^ = o. La somme des racines devant être égale à aa, on a
d'où
Le produit des racines doit être a- (i — e-) ; on a donc
G2 = m^-Ma(i — e'-),
il vient d'ailleurs
dl r7i^ M 2 __ y/M
Jusqu'ici nous n'avons pas choisi la limite inférieure de l'intégrale (5), de sorte que la fonction S, n'est déterminée qu'à une constante près; nous choisirons pour limite inférieure la distance périhélie « (i — e), de sorte que nous aurons
(6) Si = r S'i dr,
en désignant par S', notre radical.
