Passons à réquation
dS ~dL ~
Le terme GÇ ne dépendant pas de L, on aura
f^i dh
et nous pourrons calculer le second membre en partant de l'intégrale (5) et en difFérentiant sous le signe / .
On trouve ainsi
r m'* M 2 rf/-
J ~TX"W,
les, limites d'intégration étant les mêmes que celles de l'intégrale (6).
Nous avons à calculer une intégrale dépendant d'un radical du second degré; l'intégration peut se faire en ramenant aux fonctions circulaires ; povir cela il convient de poser
r = cf (i — e cosu).
De cette façon, comme cosm variera entre — i et -|- i, r variera comme il convient entre la distance périhélie a (i — e) et la distance aphélie a (i -f- e). La distance périhélie sera atteinte quand u sera un multiple de 2- et la distance aphélie quand u sera un multiple de tt.
L'angle auxiliaire u, ainsi introduit, a reçu le nom à^ anomalie excentrique.
Nous aurons
Le second membre est un polynôme de second degré en cos«, qui s'annule pour les distances aphélie et périhélie, c'est-à-dire quand u est multiple de 7t.
Ce poljnome est donc proportionnel à sin- u.
Pour avoir le coefficient, je ferai co%ii = -(-ce, en donnant ainsi à u une valeur imaginaire. Dans ces conditions^ nous aurons sen-
siblement
/' = — ae cos î<, s\n- m = — cos^ u^
Sf 7-2 = ^-^ — /■- = — tn*m^ ^ cosu = — jn^M. ae^ cos- u.
On a donc, pour toutes valeurs de /',
S'i" 1-' = 7?i- M ae2 gin2 « = L2 g2 ç,\x\ï h^ d'où
Or
r = a (i — e cos u), clr = ae sin 11 du.
Il reste donc
' (i — e cosu) du.
La limite inférieure d'intégration doit être, comme pour l'intégrale (6), celle qui correspond à la distance périhélie, c'est-à-dire u = o. On a donc
(7) l = u — e s'inu.
C'est Véquatioii de Kepler.
Cette équation nous apprend d'abord comment varie le rayon vecteur en fonction du temps. Nous avons, en effet, une relation entre r et u et nous savons que / est une fonction linéaire du temps.
Elle nous montre ensuite que les distances aphélie et périhélie peuvent être effectivement atteintes. Nous ne le savions pas encore, nous savions seulement qu'elles ne pouvaient être dépassées.
Mais l'équation (^7) nous montre que l'anomalie excentrique u peut prendre toutes les valeurs réelles possibles et, en particulier, les valeurs qui correspondent aux distances périhélie et aphélie. En effet, à chaque valeur réelle de i^ correspondra une valeur réelle de / et, par conséquent, une valeur réelle de temps, puisque / est une fonction linéaire du temps.
L'angle / a reçu le nom di anomalie moyenne.
En effet, il varie proportionnellement au temps, et il devient égal à l'anomalie excentrique toutes les fois que sin m s'annule, c'est-à-dire à tous les périhélies et à tous les aphélies.
