Passons maintenant à l'équation

dG ce qui peut s'écrire

dS

^=dG-^^-

Or, l'on a, par différentiation, sous le signe /

dSi f — G dr

dG

I^-'^JsT

Nous allons encore passer aux fonctions cir i aires, mais, comme nous avons maintenant pour variable -> nou. poserons

1 I 4- e cosp

de sorte que cosc variant de — i à +i, /■ varie de a(i — e) à rt(i + e).

Le carré de S'^ est un polynôme du second degré en - et, par

conséquent, en cost'; et, comme il s'annule aux distances périhélie et aphélie, c'est-à-dire quand ç est multiple de -, il sera proportionnel à sin-r.

Pour avoir le facteur de proportionnalité, je ferai cosp = + oc , d'où sensiblement

I e cosp 771' Me cosc

G2 «il M2 e2 cos2 ('

sin-'^' = — cos^t^;

On a donc pour toutes les valeurs de v

Oi

r7i'*M^dv . , ^, 7?i2Mesinr Si' = Qi ^'" ^'' ^1 "" G

I — e ?,inv dv — m'^ M e sin ç dv S'j dv

et

dG - ■ ^^-

L'intégrale doit avoir même limite inférieure que l'intégrale (6), c'est-à-dire celle qui correspond à la distance périhélie, c'està-dire ç = o. On a donc

d'où finalement

Revenons à la figure et prenons sur le grand cercle BD, qui est fixe, un arc BE égal à g. Comme g est une constante, le point E est fixe, ainsi que le vecteur OE, qui joint ce point à l'origine.

Alors p représentera l'arc ED, ou l'angle du rayon vecteur fixe OE, avec le rayon vecteur OD qui va à la planète. Donc r et r seront les coordonnées polaires de la planète dans le plan OBD, si l'on prend pour pôle le point O et pour axe polaire la droite OE. Donc l'équation

(8) ,. = <i(U^il)

i -\- e cosc

sera l'équation de l'orbite en coordonnées polaires; or, c'est l'équation d'une ellipse rapportée à son foyer.

Vorbite est donc elliptique.

L'angle v a reçu le nom à^ anomalie vraie. Il est égal à un multiple de 2 71 au périhélie et à un multiple impair de t: à l'aphélie.

L'angle

-hÇ = %-^ g^v

a reçu le nom de longitude dans Vorbite. Au moment du périhélie, on a p = o, la planète est sur le vecteur OE et sa longitude dans l'orbite est B -|- g.

Cet angle 9 + g-, qui est constant, a reçu le nom de longitude du périhélie.