Équations canoniques. — Soient

yu 7-2, ••-, ^«

2/2 variables réparties en deux séries, et soit F une fonction quelconque de ces 2n variables. Envisageons les équations différentielles

dxi d¥ dyt dY

dt ~ dyi ' dt dxi

Les équations différentielles de cette forme s'appelleront équations canoniques .

Si l'on avait intégré complètement ces équations, on aurait exprimé les inconnues x Qly en fonction du temps t et de ancon- P. — I. I

stantes d'intégrations

Remarquons en passant que le déterminant fonctionnel des x et desj}/ par rapport aux constantes a ne peut être identiquement nul. S'il l'était, en effet,, il y aurait entre les x, lesjK et les t une relation indépendante des a ; on ne pourrait donc attribuer aux x et auxjK de valeurs initiales quelconques pour ^ = ^q.

Il est aisé de voir, en outre, qu'on aura, en vertu des équations (i),

dY -^ I d¥ dxi^ d¥ dyi\ ~dt ~ ^\ dxi dt dyi dt ) ~ '' d'où

F = const.,,

ce qui nous donne une intégrale des équations (i).

Cette intégrale peut s'appeler intégrale des forces vives ; car, dans le cas des équations de la Dynamique, elle n'est pas autre chose, comme nous le verrons, que l'équation de la conservation de l'énergie.

2. Les équations canoniques (i) peuvent se mettre sous une forme différente, mais équivalente :

Supposons que tout ait été exprimé en fonction de t et des constantes a; on aura identiquement :

d -^ dv d •^ dy •^ dx dy "^ dy dx

^ ^ di Amà'^ 'dx'k 'dâ^k ^^ dt ~ ^ dt 5âJ ^ dt da^ '

c/.k étant l'une quelconque des constantes d'intégration. On aura d'ailleurs

dF^ ^ dF dy yri dF dx

da.1; ^Ld. dy dac/c ^d. dx d'Xk

En vertu des équations (i) le second membre de (2) est égal à celui de (3) ; on aura donc

d '^ dv d -^ dy dF

^ . dt ^^ dy-k ~ 'dâ'k'^^ dt ~ d'Xk

On aura in équations de cette forme puisque l'indice k peut prendre les valeurs 1, 2, ..., in.

Réciproquement, si l'équation (4) a lieu, le second membre

de (2) est égal à celui de (0), ce qui peut s'écrire

■^ / dx 2d\dt

I dx dY\ dy \^ / dy dF\ dx \dt dv I d 'Xk ^^ \ dt dx / d rui^

Ces 2 n équations sont linéaires par rapport aux in inconnues

dx dF /dy d¥

dt dy \ dt dx

le déterminant de ces in équations linéaires qui n'est autre chose que le déterminant fonctionnel des x et des y par rapport aux a ne peut être identiquement nul. Donc les 2/2 inconnues doivent être nulles, ce qui veut dire que les équations (i) sont satisfaites.

Ainsi les équations (i) peuvent se déduire des équations (4), de même que les équations (4) des équations (1); les deux systèmes d'équations sont donc écpiivalents.