Changements canoniques de variables. — Soient

•^1 1 •^2) • • - 7 -^ lit

y'u y'it •••, y,i

1 n fonctions des 2 n variables anciennes x et j)^. Nous pourrons faire un changement de variables, en prenant pour variables nouvelles les x' et les y' .

Je suppose que les relations qui lient les variables nouvelles aux variables anciennes soient telles que l'expression

^x' dy' — ^x dy =

dS

soit une différentielle exacte; je dis que le changement de variables n'altérera pas la forme canonique des équations (i) qui deviendront

(i bis)

En effet on a

dx'i dF ^ dy'i dF

dt dy'i' dt dx'i

y, dy' ■^ dy dS

y dS

dt dt

et l'on en déduit l'identité

^"V ^^ d "^ dy d y^ , dy' d ^ , dy^

^^ 'dt2d'lûk~~d^k2j^~di~dt2d''dnk d^,,Zà'' dt'

Des équations (i) on peut déduire les équations (4), celles-ci à cause de l'identité (5) donneront

d -^ , dy' d ^ , dy^ ^F

^^ ^^' dt Zd dixk dak .^ ' dt " da^

qui ne diffèrent des équations (4) que par la substitution des variables nouvelles x' et y' aux variables anciennes x et y. Nous avons vu que des équations (4) on peut déduire les équations (i); de même des équations (4 bis) on pourra déduire les équations (i bis). Les équations (i bis) sont donc une conséquence des équations (i). c. q. f. d.