Posons maintenant

^,- = y^ap, cosw/, 7), = yapi sina»/; l'expression

est une différentielle exacte.

Si donc nous prenons pour variables les L, les )v, les ^ et les y], ce changement de variables sera encore canonique et nos équations deviendront

i dh dF^ dLj dF

\ ~dt ~ dUi' dt ~ dl/

j (^ (/F d^i dF

\ dt d^i' dt d-r\i

80. Métiiode usuelle. — Ce que nous venons de dire s'applique, soit que nous adoptions la transformation dvi n" 30, soit que nous adoptions celle du n" 26. Mais, si. nous adoptions la méthode usuelle, les équations ne seraient plus canoniques ainsi que nous l'avons vu au n" 44 où nous sommes parvenus aux équations (20).

Mais supposons que l'on considère les six premières de ces équations (20), celles où l'indice i est égal à i, 2 ou 3, et que l'on y remplace

^45 ^5' -^65 y tti y i: y (,

parleurs valeurs en fonctions du temps. Ces six équations seront alors canoniques, mais la fonction caractéristique F' dépendra non seulement des inconnues

a?i, jTj, a^j, jKi, yii y-i,

mais encore du temps.

Nous pouvons néanmoins, d'après le n" 12, leur faire subir un changement canonique de variables.

En particulier, l'expression (i) du n'' 78 étant une différentielle exacte, nous pouvons transformer ces six équations en prenant pour variables nouvelles

Ll; ^1, Ph Wi, P2, 0)2.

Elles resteront canoniques. Nous obtiendrons ainsi six équa- P. — I. 7

lions de même forme que les équations (4) du n" 78, mais où F est remplacé par F', et où l'indice i prend seulement la valeur i pour L et )., et les valeurs i et 2 pour p et oj.

Opérons de même sur les six dernières équations (20) du n" 44. Remplaçons-y

par leurs valeurs en fonctions du temps. Ces six équations seront canoniques, la fonction caractéristique sera F" et elle dépendra non seulement des inconnues

mais encore du temps.

L'expression (2) du n" 78 étant une ditférentielle exacte, ces équations resteront canoniques si l'on prend pour variables nouvelles

L2, ^2) PSi '^Zi P4.1 ^'^k-

Nous obtiendrons ainsi six équations de même forme que les équations (4) du n" 78, mais où F est remplacé par F" et où l'indice i prend seulement la valeur 2 pour L et \ et les valeurs 3 et 4 pour p et w.

En résumé, nous retrouvons douze équations de même forme que les équations (4), avec cette différence que, dans six d'entre elles, F doit être remplacé par F', et dans les six autres par F".

Il en serait absolument de même pour les équations (5).

81. Emploi des éléments elliptiques. — Au n° S8, nous avons défini quatre systèmes d'éléments, à savoir le système des éléments elliptiques et trois systèmes d'éléments canoniques. Au n" 78, nous avons adopté comme éléments osculateurs ceux du troisième système, celui des p et des w; au n° 79, nous avons adopté le quatrième système. Si nous avions adopté le deuxième système, il n'y aurait rien à changer à ce qui précède, puisque ce système est également canonique.

Mais les astronomes emploient aussi fréquemment le premier système, celui des éléments elliptiques, qui n'est pas canonique. Quels sont les changements qui en résultent?

Comme nous avons des relations entre les éléments canoniques

et les éléments elliptiques, les dérivées par rapporta t des éléments elliptiques s'exprimeront linéairement à l'aide des dérivées par rapport à t des éléments canoniques, les coefficients étant des fonctions connues des éléments elliptiques. En vertu des équations (4), chacune de ces dérivées des éléments canoniques par rapport à / est égale, au signe près, à une dérivée partielle de F par rapport à un des éléments canoniques. A leur tour les dérivées partielles de F par rapport aux éléments canoniques s'expriment linéairement à l'aide des dérivées partielles de F par rapport aux éléments elliptiques, les coefficients étant des fonctions connues des éléments elliptiques.

En résumé, les dérivées par rapport à t des éléments elliptiques s'exprimeront linéairement à l'aide des dérivées partielles de F par rapport aux éléments elliptiques, les coefficients étant des fonctions connues des éléments elliptiques.

Telle est la forme des équations différentielles auxquelles satisfont les éléments elliptiques; elles sont beaucoup plus compliquées que les équations (4) auxquelles satisfont les éléments canoniques.

On peut, grâce aux crochets de Lagrange définis au n" 14, les obtenir sans passer par ce détour.

Soit un système d'équations canoniques

dxi d¥ dyt d¥

dt dyi dt dxj

Considérons des accroissements virtuels oxi et oyi des variables Xi etjKo et 8F l'accroissement correspondant de F. Si nous multiplions nos équations par àyi et — Zxi et que nous ajoutions, nous trouverons

(^6 j ^ ( dxi oyi — dyi oxi) = oF dt.

Supposons que nous exprimions les x et les y en fonctions de 2n variables nouvelles

'^iiii

il viendra

, v^ dxi , ^ v^ dxi

dxi— > -j— ofa/,, 03:-;= > -—

ôax:.

Si nous remplaçons dxi et ùXi par ces valeurs et dyi, oyi par les

lOO CHAPITRE IV.

valeurs analogues, et que nous posions

notre équation (6) devient

\ [ «A, a/, ] ( d^h luk — da-k oa/, ) — lY dt\

la sommation doit être étendue à toutes les combinaisons des indices h et /r, les deux combinaisons A, k et A", /i ne devant pas être regardées comme distinctes.

Mais si j'observe que

je puis écrire aussi

où la sommation doit être étendue à tous les arrangements des indices h et /:, les deux arrangements /z, k et A", A devant cette fois être regardés comme distincts.

Si nous remplaçons oF par

da.k

et que nous identifiions, il viendra

Appliquons cette formule au cas qui nous occupe; nos variables, au lieu d'être désignées par Xi et^/, devront alors être désignées par x'i et y'^ ; intégrons d'abord les écjuations en i^éduisant F à Fq ; elles se réduiront alors aux équations du mouvement képlérien et elles nous permettront d'exprimer nos inconnues en fonctions des six éléments elliptiques de A" et des six éléments elliptiques de B". Supposons que ces douze éléments elliptiques soient précisément nos variables nouvelles que nous appelons a,, ao, . . ., a^^.

La formule (7) nous donne alors les équations différentielles auxquelles doivent satisfaire ces nouvelles variables. Les coefficients [a^, a^] sont des fonctions connues des éléments elliptiques.

PRrNCIPES DE LA METHODE DE LAGRANGE. 10(

Mais ces coefficients ne sont autre chose (par rapport aux équations canoniques du mouvement képlérien) que les crochets de Lagrange du n'^ 14. En effet, parmi nos éléments elliptiques, il j en a deux qui varient proportionnellement au temps : ce sont les deux anomalies moyennes. Soient

ces deux éléments; c'est-à-dire les anomalies moyennes des deux planètes fictives. A-lors Ej et So seront des constantes pour le mouvement képlérien.

Les autres éléments sont des constantes pour le mouvement képlérien.

Considérons alors un des crochets [a^, a^^]; si h et k ne sont pas égaux à I ou à 2, il rentre immédiatement dans la définition du crochet de Lagrange, puisque a^ et a/f sont des constantes.

Soit maintenant, par exemple [a^, ay^], h n'étant égal ni à i , ni à 2. On a alors

dx,- dxj dyt dyt

dy.i dzx d%\ dz^

et, par conséquent,

[a/„ ai] = [a/i, s,],

et comme £| est une constante nous retombons sur la définition du crochet de Lagrange.

Reste le cas du crochet [a,, ao]; ce crochet est nul et il en est de même, en général, de [a^, a/t] si a^ et a/; sont deux éléments n'appartenant pas à la même planète fictive. Et, en effet,

dx'i dy'i dx'i dy'/

•^ IclXi ayi dx i ay i

Or, si /= I, 2, 3, les dérivées par rapport à ao sont nulles; si, au contraire, i = 4? 5, 6, ce sont les dérivées par rapport à a, qui sont nulles. Tous les termes du second membre s'annulent donc.

Tous nos coefficients sont donc des crochets de Lagrange, et il résulte du n" 14 que ce sont des fonctions des constantes du mouvement képlérien, c'est à-dire des éléinents a autres que les anomalies moyennes et des deux constantes s.

Je ne m'arrêterai pas à démontrer qu'ils ne dépendent pas des constantes e, ce qui serait facile.

Les équations (7) étant beaucoup plus compliquées que les équations (4)i je n'en ferai aucun usage. Je termine donc là cette digression en me contentant de renvoyer à l'Ouvrage de Tisserand, Tome I et, en particulier, au Chapitre X et à la page 187, où l'on trouvera les équations en question sous leur forme définitive.

82. Calcul de Fq. — Revenons aux éléments canoniques et à la transformation du n"30. JNous avons formé les équations (4) et(5) des n"'^ 78 et 79. Il reste à exprimer F en fonction des éléments osculateurs.

Commençons par F„ ; nous avons trouvé au n" 37

D'autre part, nous avons trouvé au n" 64 la formule suivante :

(8) — (rf+Ji+7i) ;:■ - ^1^2

Appliquons cette formule à la planète fictive A"; il faudra y changer y,, y. 2, y 3 en y\, y'.^, y'.^ ; m et M en ?n\ et m, + /n-; ; /■ en AC, L en L,, de sorte que le premier terme du premier membre de la formule (8) se réduira à T, et que la formule deviendra

m y m-, m\in\ml M]

où nous avons posé

Ml = in\ m] Jii'].

Appliquons de même la formule (8) à B"; il faudra y changer jKi , y-i-! y 3 en j'',, , JK5? .76 5 ^'^ et M en m',, et m, -h w^ -}- m^ ; r en BD, L en Lo, de sorte que le premier terme de (8) se réduira à To et que la formule deviendra

m!,(7ni— jut) m\ml(mi^ in-j Y , M-, BD ~ 2LI ~ 2LI

PRINCIPES DE LA MÉTHODE DE LAGRANGE. Io3

OÙ nous avons posé

M2 = m 4 m'I ( ?7li -T- «Î7 )^-

En additionnant, il vient

m\ m'I nij m\ml{mi-h ju-jY Mj M2

(9) Fo^

iLf 2LI 'iLf -lU,

Le même calcul s'appliquerait si l'on avait adopté les transformations du n" 26 ou du n° M. Les valeurs des masses seules différeraient.

Avec la transformation du n" 26, il aurait fallu faire

M = jni-+- m-, pour A ,

//Il -t- m et

* ' M = — * -^— pour B .

m^. -+- m■^ ( m,, -+- m-i ) (nii-^ /Ht)

On aurait obtenu ainsi

in\ m f »if m l m-, {tni-+- m-, ) i

Avec la méthode usuelle du n" M, il aurait fallu faire

m = mi, M = nxi -+- m-i pour A", m = /«i, M = in>^-^ m-] pour B",

et l'on aurait eu

m \ ( mi -i- /n^ y^ mli mi,-+- m^ )-

Fo = —

■iLf aLI

Ce que nous devons surtout retenir c'est que F ne dépend que des L.

83. Calcul de jjlFi. — Développons maintenant la fonction perturbatrice ]xF^. Dans le cas de la transformation du n" 30, cette fonction ne dépend que des coordonnées x' ; ces coordonnées, en vertu du n" 69, sont développables suivant les puissances des ^ et des r^. En est-il de même de la fonction |jlF, elle-même? Pour que cette fonction [j.F< soit développable suivant les puissances des \ et des Y), il suffit qu'elle soit holomorphe par rapport aux^', quand les ^ et les yj sont supposés nuls.

Soit, en effet,

Soit ^1" ce que devient x'^ quand on annule les Ç et les r\ et posons

Alors x'/^ représentera le premier terme du développement de :r^suivant les puissances des Ç et des t), et ox'^ représentera l'ensemble de tous les autres termes.

La fonction cp (^'J = cp(^^'* + o.r^) étant holomorphe pour £c'^ = x'I* sera développable suivant les puissances des ô:c'^, et comme ceux-ci sont développables suivant les puissances des \ et des f\^ il en sera de même de cp(jc'^) = [j.F< . c. q. f. n.

ne peut cesser d'être holomorphe que pour

BD = o, AB = o ou BG = o,

c'est-à-dire pour

OU pour

irii -f- nl■^

ou pour

nii

jC 1 jC n \ÂJ •>

D'autre part, quand on annule les ç et les ?;, il vient

a^'j = Kl Lf cosXj, iTg = Kl L| sinX,, a?;j = o, a?'. = K2LI cosX,, a?'- = KjLI sinXa, a^'g = o.

Ki=-^-^ , K,=

(Rj et Ko étant les valeurs du facteur ^^^ correspondant aux deux planètes A" et B"

Or ces valeurs des x' ne satisferont aux conditions de non-holo-

morphisme que si

Lo = o, ou

KjLj m:

K2LI nii -+- ?n^ OU

KiLf m\

K2L5 mx-\- m-i

conditions qui, dans les applications, sont très loin d'être satisfaites.

La conclusion, c'est que la fonction perturbatrice est développable suivant les puissances des ^etdesYj; les coefficients dépendent d'ailleurs des L et des \, mais il est clair qu'ils doivent être des fonctions périodiques des longitudes moyennes A et, par conséquent, développables en séries trigonométriques procédant suivant les cosinus et les sinus des multiples de X. Nous pouvons donc écrire

|jlFi =\^ A cos(A-iXi-(- /fjX,-!- A) 011,

OÙ ki et k., sont des entiers, où A et h dépendent seulement des L, où enfin OÏL est un monôme entier par rapport aux ^ et aux y;.

Ce développement, comme on le verrait en raisonnant comme au n° 69, peut toujours se mettre sous la forme

(10) ^Y, = y^kp\^p'^^^ç>f^l^co^(^^ki\i^^p^i^i+h^-

dans cette formule, A et h dépendent seulement des L, les Aet les p sont des entiers positifs ou négatifs, les icjt sont des entiers positifs et de telle façon que icfi soit de même parité que pt et

que

■i-qiû\pi\-

Remarquons en passant que les p étant de l'ordre du carré des excentricités et des inclinaisons, le terme en question sera de l'ordre

par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Nous nous contenterons pour le moment de ces brèves indica-

lions, mais nous reviendrons plus loin en détail sur le développement de la fonction perturbatrice.

84. Cas de la méthode usuelle. — Ce que nous avons dit de la fonction perturbatrice s'appliquerait séparément à la partie principale et à la pai'tie complétnentaire de cette fonction, puisque l'une et l'autre s'expriment par des fonctions holomorphes des x' . Et cela resterait vrai, que l'on adopte la transformation du n" 30, ou la méthode usuelle du n" 44.

Mais, dans ce dernier cas, la partie complémentaire de la fonction perturbatrice prend une forme particulièrement simple ; il en est de même, d'ailleurs, dans le cas particulier examiné au n" 40.

Cette partie complémentaire est, en effet,

minH, , , , , , , .

pour l'une des planètes, et

mi ni!, , , , , ' ' N

— T-^^ (.a^i ^4 -I- arj -P5 -t- a^3 ^g ).

Posons

Le développement de •! se déduira, d'une manière particulièrement facile, de celui des x' .

Observons maintenant que dans le cas du mouvement d'un point attiré par une masse fixe centrale M, on a les équations difteren-

tielles

(P Xi M Xi

^\xi .^.,d^Xi

ou enfin

Xi m^ M3 d'^Xi

Si nous voulons appliquer ce résultat à la planète A", il faut remplacer x^^ x.21 J^s par x\, x'.-,, x'.^^ v par AC, \ et L par \\ et L,, m et M par m, et /?«, + in-,^ d'oii

x'i ^ m\(m^-^ m-jY d^ x'j

ÀC3 -■ L\ d\\ (^-i>'^, •^)-

On obtiendrait de même

x'i in\ ( m4 -H m-i )3 d- x'i

BC3 Llj d\%

si nous observons qu'en appliquant la formule à B", il faut faire /• = BC, puisque, dans la méthode usuelle, la planète B est rapportée au Soleil G.

Si nous observons alors que ^', , .r',, r'., ne dépendent pas de X2, ni ^'j, j;'-, ^'g de Tv,, nous aurons

'^ )n\ in,^ ( mi -+- m- )^ d- J;

J; ml m i(m.^-+- m-j y d^ <L

ce qui nous donne les expressions des parties complémentaires cherchées.

80. Cas de la transformation du n" 26. — Si l'on adopte la transformation du n° 26, nous avons vu au n" 43 que la partie complémentaire a pour expression

et en employant les formules

m*M2 dxi

du n*^ 69 et les appliquant aux planètes A" et B", nous trouvons

m'y- ni\- m'j m'I m'^ d-<\i 13=-

LfL| dlidh^

86. Symétrie. — La formule (10) peut recevoir de notables simplifications par suite de considérations de symétrie. En premier lieu, la fonction perturbatrice ne doit pas changer quand on remplace la figure formée par les deux orbites osculatrices, les planètes fictives A', B' et les corps réels A, B, G par une figure symétriqvie par rapport au plan des .r, .«3. Or cela revient à changer les signes de tous les angles À et to, ainsi qu'on l'a vu au n" 71.

Le développement (lo) ne doit donc pas changer quand on

change tous ces signes; il ne contient donc que des cosinus, ce qui

revient à dire que

Ce résultat peut encore s'énoncer autrement si l'on met le développement sous la forme

N^ A cos ( A-i X 1 -H A-2 X2 -I- A ) OÏL.

Sous cette forme, la constante h doit être é^ale à zéro ou à -

suivant que le monôme OÏL est d'ordre pair ou impair par rapport aux-/].

87. La fonction perturbatrice ne changera pas non plus quand on fera tourner la figure dont il vient d'être question d'un angle quelconque e autour de l'axe des x^^.

Or, comme nous l'avons vu au n" 70, cela revient à augmenter toutes les longitudes de e, c'est-à-dire à changer les \ en A -h e, et les (o en to — s.

Dans ces conditions, le développement (10) ne doit pas être altéré, ce qui revient à dire que les entiers A" et/? doivent satisfaire à la condition

88. La fonction perturbatrice ne changera pas quand on remplacera cette même figure par une figure symétrique par rapport au plan des x^x■J>.

Mais, ainsi que nous l'avons vu au n" 7!2, cela revient à changer le signe des variables obliques Ço? 'fï-ii ^4? f\'f Le développement de F, suivant les puissances des ^ et des t), ne contiendra que des termes de degré pair par rapport à ces variables obliques.

Ou bien encore cela revient à changer coo et W4 en 0)2-!-'*^ et 10/, H- 71, et, comme le développement (10) ne doit pas être altéré, cela veut dire que

est toujours pair.