Homogénéité. — La fonction F est homogène de degré — i

par rapport aux grands axes et, par conséquent, homogène de degré — 2 par rapport aux L et aux p. Il en résulte que, dans le développement (10), le coefficient A est homogène de degré

par rapport aux L.

90. Intégrales des aires. — Que deviennent les intégrales des aires avec nos nouvelles variables? Nous avons vu, au n" 23, que ces intégrales conservent la même forme quand on passe des variables a: et y aux variables x' et y', de telle façon que chaque composante du vecteur des aires est la somme de la composante correspondante du vecteur des aires relatif à la première planète fictive A', et de celle du vecteur des aires relatif à la seconde planète fictive B'. D'autre part, le vecteur des aires est le même à l'instant t pour la planète A' et pour la planète A", puisque à cet instant elles ont mêmes coordonnées, même masse et même vitesse.

Elle sera la même également pour B' et pour B".

Or, au n°60, nous avons vu quelles étaient les trois composantes du vecteur des aires pour une planète se mouvant d'après les lois de Kepler; ce sont :

G sin i sin6 = — ■'121/ L — pi ■

(li) <

— G sini cos6 = — ^-i/ ^-' — Pi — ' 0 = L — pi — .p2-

On voit que dans les deux premières de ces expressions figurent à la fois les ^, les 7] et les 0 ; mais il serait aisé de passer de là soit à une expression en fonction des p et des (o, soit à une expression en fonction des ^ et des T|.

Appliquons ces formules aux deux planètes A" et B" qui décrivent des orbites elliptiques. Nous verrons que les trois composantes du vecteur des aires sont

■^21/Li— Pi — ^' — ^21/ L] — Pi— -^^ Li— pi

I lO CHAPITRE IV.

pour A" et

— 1Q4\/ L-2 — P3— ^' — ^ii/ L2— p3— -j, L3— p3 — pi

pour B", de sorte que les intégrales des aires s'écriront

const.,

^'''-^ \ — bl/Li — Pi — ^ — ^^é/Lo — ?3— ^ = const.,

f . ^^ — ^ p = const.

La dernière des équations (12) peut s'obtenir facilement de la manière suivante :

Nous avons vu, au n° 87, que dans le développement (10) de la fonction perturbatrice ^Fi on a

On a donc

et comme F ne diffère de [J.F, que par le terme Fy qui est indépendant des \ et des to

ou à cause des équations (4)

V^ __ V^ -n ^dt Z^dt ~ '

ou enfin

91. Supposons que l'on prenne pour plan des x^x.^ le plan invariable, les équations (12) se simplifient. En effet, les seconds membres des deux premières équations (12) se réduisent à zéro, et alors on peut déduire de ces écjuations

Mo = W;

et

pan^i— pi— Çj = pj L.— ps —

L'équation 0)0=10,, n'est pas autre chose que la propriété énoncée au n° 25, sous le nom à^él uni nation des nœuds.

92. Tout ce que nous avons dit jusqu'ici s'étend sans aucune difficulté au cas où l'on a plus de trois corps. Il en est ainsi en particulier des résultats du n" 90. Mais ceux du n" 91, de même que ceux du n° 25, ne seraient plus vrais dans le cas où il j aurait plus de trois corps.

93. Approximations successives. — Comme F= Fo-t- [J.F, et que F() ne dépend que des L, les équations (4) du n" 78 peuvent s'écrire

[ d\^ „ dFi dri dF ^ d\ dF ^

\ dt