OIS
et de même les équations (5) du n" 79 peuvent s'écrire
(5 his)
dr^ rfFj dt ~^ 17f ' d\ dFo dFi dt ~ dL ^ '"" dL '
di
dL __ dt ~
dF, - '" dl '
dto dFi
dt ~ '^ dp '
dl dFo ,, ^Fi dt ^L ' ' dL
dp
dt ~~
dF,
J'ai supprimé les indices i pour simplifier l'écriture.
Cela posé, voici comment les équations (4 bis^ ou (5 bis') peuvent s'intégrer par approximations successives en profitant de la petitesse du paramètre [j..
En première approximation, nous supposerons tj. = o, de telle façon que les L, les p, les to, les ^, les rj seront des constantes et les X des fonctions linéaires du temps.
Ensuite, dans les seconds membres des trois premières équations (4 bis) ou (5 bis)\ç, remplace les fonctions inconnues L, X, p, to, (ou L, X, ^, rj) parleurs valeurs trouvées en première approximation; ces équations me donnent alors par une simple quadrature de nouvelles valeurs approchées des L, p et co (ou des L, \ et ■t\).
Dans le second membre de la quatrième équation (4 bis) ou (5 bis)^ je remplace les L, p et w (ou les L, i et ti) par les valeurs ainsi trouvées, et les "X par les valeurs de première approximation. J'ai ainsi par quadrature de nouvelles valeurs approchées des À.
Et c'est là la deuxième approximation.
Ensuite, dans les seconds membres des trois premières équations (4 bis) ou (5 bis), je remplace les fonctions inconnues par les valeurs trouvées en deuxième approximation et j'obtiens ainsi pour les L, p et oj (ou pour les L, ç et 'r\) de nouvelles valeurs approchées que je substitue dans le second membre de la quatrième équation, où je remplace d'ailleurs les À par' les valeurs de la deuxième équation.
Et c'est là la troisième approximation.
Et ainsi de suite ; à la /i'^""^ approximation, on envisage d'abord les trois premières équations ; on remplace les inconnues dans les seconds membres parles valeurs de (/^ — i)"^™*^ approximation, et l'on calcule par quadrature les valeurs de /^'<='"e approximation de toutes les inconnues, sauf des À.
On prend ensuite la quatrième équation ; dans le second membre, on remplace toutes les inconnues par leurs valeurs de n"^"''^ approximation, sauf les A que l'on remplace par leur valeur de [n — i)'eme approximation. On obtient enfin par quadrature les valeurs de ^ieme approximatiou des À.
On voit qu'à chacune des approximations on n'a à effectuer que de simples quadratures.
94. Il s'agit de se rendre compte de l'approximation obtenue. Nous allons chercher à développer nos inconnues suivant les puissances de \K et de voir combien à chaque approximation nos développements contiendront de termes exacts.
Pour cela, nous nous appuierons sur les lemmes suivants :
r' Soient deux fonctions développées suivant les puissances de ij., leur produit sera également développable suivant les puissances de u, et si l'on remplace ces fonctions par des développements dont les premiers termes seuls sont exacts, de telle façon que le premier terme erroné soit le terme en <^'\ le développement du produit aura aussi ses premiers termes exacts, de telle façon que le premier terme erroné soit le terme en [x".
l'ULNCU'tS DE LA AIE lllODK OK LA(jili ViNCii: . IIJ
2" Ce résultat s'étend immédiatement à un polynôme entier quelconque. Soit P un polynôme entier en x, j-, 3 ; si ^, y, z sont développables suivant les puissances de [Ji, il en est de même de P; et si l'on remplace x, )*, c par des développements approchés où le premier terme erroné soit en jjl", les premiers termes du développement de P seront exacts, de telle façon que le premier terme erroné soit le terme en a".
3" Considérons maintenant une fonction quelconque y" (x, y, z). Soient Xq, jKo? -^o les valeurs de x, y et z pour ij. = o, c'est-à-dire les premiers termes des développements de x^ y, z suivant les puissances de u. Je dis que la proposition qui précède sera encore vraie si la fonction /"est liolomorplie en x,y, z pour
.r = j"o, y=yo, - = -j-
Posons en effet
la fonction f étant holomorphe sera développable selon les puissances de Sx, S/, oz. On pourra donc écrire
où y'o contient l'ensemble des termes de degré moindre que /i en ox^ oy, §5 et /, l'ensemble des termes de degré au moins égal à /? : alors /"o est un poljnome auquel s'applique le lemme précédent.
Supposons maintenant que l'on remplace ox, ùy, ùz, soit par leurs développements exacts suivant les puissances de [j., soit par des développements dont les premiers termes seuls soient exacts, le premier terme erroné étant en [j.". Dans les deux cas, y, /q et y, seront développables suivant les puissances de [j.; de plus, comme ox^ S/, oz sont divisibles ])ar ij., et que y, ne contient que des termes d'ordre n au moins par rapport à ûx, Sk, oz-, cette fonction y, sera divisible par ^" .
Je dis maintenant que dans les deux développements, l'un exact, l'autre rapproché, les termes de degré moindre que n (c'est-à-dire les termes en jjl' où /■< n) seront les mêmes. Cela est vrai pour y, qui est un poljnome auquel le Icjnme s'applique; cela est vrai pour y, qui est divisible par [jl", et qui par conséquent ne contient pas de terme de degré moindre que /i en tji. Cela est donc vrai de /'. P. — I. S
Il4 CHAPITRE IV.
Ainsi dans le développement approché de /, le premier terme erroné est le terme en jji", ou, comme nous le dirons plus brièvement, l'erreur est de l'ordre de t^'^.
95. Il s'agit d'appliquer ces lemmes à la question qui nous oeewpe. Gela est possible, car Fq et F, sont des fonctions bol©morphes de nos inconnues X, L, p, to (ou X, L, H, t]) et il en est de même de leurs dérivées.
Je vois d'abord qu'à chaque approximation nous trouverons pour nos inconnues des expressions développables suivant les puissances de p.. Et en effet, si cela est vrai en(n — r "*'"") approximatio^n, quand nous substituerons dans les seconds membres des équations (4 bis) ces valeur approchées développables suivant les puissances de a, ces seconds membres seront eux-mêmes après cette substitution développables suivant les puissances de [je, et il en sera de même des nouvelles valeurs approchées des inconnues, qui se déduisent de ces seconds membres par quadrature.
Si, dans nos développements appi-ochés des inconnues, le preluier terme erroné est en ji.'^, et si nous substituons ces développements approchés dans F,, le développement de F, aura ses premiers termes exacts, d'après le lemme, et le premier terme erroné sera en [j." ; pour [aF,, le premier terme erroné sera en a"+', et de même pour la même raison, si F', est une ejuelconque des dérivées partielles de F|, l'erreur commise sur jjtF', sera de l'ordre de |j(."+'.
Sur Fo, ou sur une quelconque des dérivées partielles de F», Terreur commise sera de l'ordre de ^".
Après la première approximation, l'erreur commise sur les inconnues est de Tordre de jj..
Passons à la seconde approximation. Substituons ces premières valeurs approchées dans les seconds membres des trois premières équations (4 bcs) ou (5 bis) qui sont de la forme [Jt-F'^. L'erreur commise sur ces seconds] membres sera de l'ordre de [jl^, et il en sera de même de l'erreur commise surles nouvelles valeurs approchées des L, p, 0) (ou L, ^, tj).
Substituons ces nouvelles valeurs approchées dans le secorad mem^bre de la efuatrième équation et rempiaçons-jen même temps les \ par leurs valeurs de première approximation. Nous faisons
PRINCIPES DE LA MÉTHODE DE LAGRANGE. Il5
sur ies unes une erreur de l'ordre de p.*, sur les autres une erreur
de l'ordre de [jl. L'erreur commise sur \>--jf sera donc de l'ordre
dF de [JI.2. Quant à l'erreur sur -^ elle sera également de l'ordre
de a-, car -jp ne dépend que des L et l'erreur sur les L est de
l'ordre de [i.^. L'erreur sur le second membre de notre quatrième équation et, par conséquent, sur les nouvelles valeurs approchées des \ sera donc aussi de l'ordre de [j.-.
On démontrerait de la même manière qu'à la troisième approximation l'erreur sur les seconds membres des trois premières équations est de l'ordre de |j.'', l'erreur sur les nouvelles valeurs approckées des L, p, w de l'ordre de [x^. et enfin que l'en^eur sur
iK—TT^, sur —TT^ et, par conséquent, sur le second membre de la » dL dL ' *
quatrième équation et sur les nouvelles valeurs approchées des À,
est aussi de l'ordre de [j.^.
En résumé, après la n^ème approximation, V erreur commise
sur nos inconnues est de U ordre de ij.".
96. Dans la méthode d'approximations du n" 93, nous substituons à la place de nos inconnues, dans les seconds membres de nos équations, des développements obtenus d'une certaine manière. Mais il n'y a là rien d'essentiel. Supposons que dans les seconds membres des trois premières équations (4 bis), nous ajons substitué à la place des inconnues d'autres développements pourvu que le premier terme erroné soit de l'ordre de a".
L'analyse du n° 9o nous montre immédiatement que ces équations noiis auraient donné pour les L, les p et les w de nouveaux développements approchés où le premier terme erroné serait eu
Prenons ensuite la quatrième équation (4 bis); dans le second membre, substituons à la place des L, des p et des w ces nouveaux développements et à la place des X les anciens développements oii l'erreur est de l'ordre de u.". Ici encore nous verrions immédiatement, par l'analyse du n"^ 95, que l'équation nous donnerait pour les A de nouveaux développements approchés où le premier terme erroné serait en ul"+'.
Dans la conduite de nos approximations, nous pouvons, comme
I l6 CllAPITRIi IV.
d'ailleurs le bon sens l'indique, laisser de côté les ternies erronés de nos développements, en ne conservant que les termes exacts.
A la n^^'"^ approximation, nous substituons dans nos seconds membres nos développements approchés, et nous obtenoijs pour ces seconds membres eux-mêmes des développements que nous pouvons ari'êter au terme en p."~^', puisque les termes suivants sont erronés.
Dans le second membre de la quatrième équation, nous avons
deux termes -77^ et ix-yt-; dans le second terme, il suf'fii^a de subdL ' dL
stituer à la place des inconnues leurs anciens développements qui
sont exacts jusqu'au terme en p.'^"- inclusivement; l'erreur commise
dans le développement de [j. -rp sera encore de l'ordre de ul".
Mais, dans le terme -yp? il faudra remplacer les L (je dis les L parce que -tt-" ne dépend que des L j par leurs nouveaux développements, exacts jusqu'au terme en [jl"~' inclusivement, que l'on a obtenus à l'aide des trois premières équations.
97. Il convient de préciser davantage. Considérons, par exemple, les équations (5 bis). Je suppose que nous envisagions la solution particulière de ces équations telle que, pour ^ = 0, les inconnues L/, "^H: Çij '/^i aient pour valeurs initiales
T n -, 0 )• » Il
et que nous nous proposions de développer cette solution suivant les puissances de [jl.
En premièi'C approximation nous auroils
où ni est une constante qui, conformément aux formules du mon- \ement elliptique, est égale à
où nous avons posé, comme au n" 82,
M , = mV' ( /«i -î- /'«7 )- = 'n'i '«1 /"t '
En /i"''"'' approximation nous aurons
(li)
et
'dF, ,, , r'dF,
Dans les intégrales qui llgurent dans les seconds membres des équations (i4) on remplace les inconnues par les valeurs obtenues en (n — i^'ènie approximation. On fait de même pour la seconde intégrale du second membre de (i5), tandis cjue pour la première intégrale, où figui^e sous le signe / une fonction ne dépendant que
des L, nous y remplacerons les L par leurs valeurs données par les équations (i4)-
98. Nous avons vu, à la lin du Gliapilre pi'écédent, que nos équations peuvent s'intégrer par approximations successives et que ces approximations peuvent se faire par de simples quadratures. Toutes les quadratures que nous serons conduits à faire dans l'ap- ])licatioa de cette méthode seront de la forme
/ PlI'"- cos(v# + h) dt,
où m est un entier positif ou nul. A, v et h des constantes. Nous avons d'abord, pour m = o,
(i) / cos(v^-i- //) t/^ = !^ '-,
et, d'ailleurs,
/ e'v' dt = -^• J iv
Si nous diflférentions cette dernière équation m fois par rapport à V et que nous divisions par i"\ il vient
/ f'^ei^^tclt
piigivt ,yi[ im-lf,i\t „il fm-2giwe
il y m 1! ^;;/^+l
ou en multipliant par Ae'^ et prenant la partie réelle
/ At"i cos(v^-i- h)d/
= î^ ^ -i-rtiAt'"-^ ^— —m(m — i)Ai"'-- ^ —
I » cos , , I
± m ! A . (vt-\- h) .
sin ^ ^ v"'+'
