APPLICATION DE LA MÉTHOOI': DE LAGRANGE. M
Le terme général du développement est
, , cos, ^ , t'"-f
OÙ l'on doit prendre
-i-sin, -i- cos, — sin, — c<j)s,
suivant que
/) = o, 1. -2, 3 (mod4;.
On remarquera la présence de v au dénominateur. Les formules j)récédentes deviennent donc illusoires dans le cas où v = o; elles doivent être remplacées par
( 3 ) [a dt = A ^. /A ^'« dt = — ■ ^'"+1.
99. Appliquons ces principes au problème qui nous occupe, c'est-à-dire à l'intégration des équations (5 bis) du n" 93. Nous avons vu au n° 83 que {J-Fj et F peuvent se développer suivant les puissances des ^, des y) et des cosinus et sinus des multiples des 1, il en est de même des dérivées partielles de F par rapport aux L, aux A, aux ^ et aux ri. Les seconds membres des équations (5 bis) seront donc développables sous la forme
( 4 ) Va cos ( /ci Xi H- A-2 Xa -T- A) DTl ,
où A et h sont des constantes ne dépendant que des L, où les k sont des entiers et Dit un monôme entier par rapport aux ^ et aux ?).
La constante h est d'ailleurs égale à o ou à ^ -? d'après le n° 86. En première approximation nous avons
T tO I- iO ., .,0 •) n .f "i^
Lii — Lji , Ç; — %i ■ i,i — '((■ ) '^[ — 'l-i t -r- A, •
Si, appliquant la règle des n"' 93 ou 97, nous substituons ces valeurs dans les seconds membres des trois premières équations (5 bis), ces seconds membres prendront la forme
V B cos(v^ -+- h'),
lao CHAPITRE V.
OÙ B et II sont des constanles et où
V ^ kl Hi -+- k^riy.
Nous pourrons alors intégrer nos équalions à l'aide des formules (i) ou (3) et nous trouverons pour nos inconnues L/, ^^et'/^j de nouveaux développements où nous aurons des ternies en sin(v; H- II') et des termes en t.
Passons à l'équation (i5) du n" 97:
'f/Fo , r'r/Fi
dl
dt.
Dans -tA n nous devons encore suljstiluer à la place de nos
inconnues leurs valeurs approchées L)', ^", yi", nit-\-\\\ nous obtiendrons ainsi pour A/ des termes en t [provenant de l'application de la formule (3)] et des termes en sin(v^ + A') [provenant de Tapplication de la formule (i)].
dY . -
Dans -—> il faut, d'après la règle du n" 97, substituer aux L/
les nouveaux développements que nous venons de trouver. Soient
ces nouveaux développements.
Les SL; sont développables suivant les puissances de [Jl, et comme on a, d'ailleurs,
>T C^ dY ^ .
oL/ = — [a / -jy dt, I
et que dans -^ les inconnues ont été remplacées parleurs valeurs
approchées indépendantes de (x, on voit aisément cjue le développement de oL, se réduit à un seul terme, le terme en [j..
Pour L/= L", ^j~ se réduit à ni. D'ailleurs, pour L, = L^- -h oL/,
la dérivée -jr^ peut se dévelopj^er suivant les puissances des oL^-
sous la forme
d\^i dL, dLi dL, tli^i
Dans ce développement, nous pouvons négliger les termes du
second degré ou de degré supérieur, parce qu'ils sont de l'ordre de jji.^, et si nous observons, d'autre part, que, d'après la forme deFo(c/. n°82), on a
cI'-Fo d'Fo dm
'dûd^:, - °' TiJ ~ dVi '
nous pouvons écrire
dV ^ dm ^,
d'où
' d¥^^ du,- r
f §ldf = mt-^^ f dUdi.
J'ai pu faire sortir — — ^ du signe / ; c'est, en effet, une constante;
car les déin\ées successives de Fo, quand on j a remplacé les L^par les constantes L", se induisent à des constantes.
Nous avons vu que 3L/ contient des termes en sin(vi+ h') et peut contenir des termes en t. Nous verrons bientôt que ces termes en t ne peuvent se rencontrer que si le rapport des moyens mou-
A^ements — est commensural^le; c'est là la propriété connue sous
le nom à^ invariabilité des grands axes.
Cela nous donnera dans / oïjidt et, par conséquent, dans A; des
termes en cos(v^ + h), des termes en i; il pourra j avoir aussi des termes en t- [par application de la formule (3)] mais seulement si SL/ contient des termes en t, c'est-à-dire si le rapport des moyens mouvements est commensurable.
C'est là la deuxième approximation (pii, à cause de la petitesse des masses perturbatrices, est suffisante pour les besoins de la pratique dans le plus grand nombre des applications.
100. Nous voulons néanmoins pousser l'approximation plus loin et voir quelle est la forme générale des termes de nos développements.
Je dis que tous nos termes seront de la forme
(5) At'" cos{vt + h),
122 CHAPITKE V.
OÙ m est un entij&r positif ou nul, A el li des constantes et où
les A" étant des entiers positifs ou négatifs.
J'observe d'abord que le produit de deux quantités de la forme (5) est une somme de termes de la forme (5) et j'en conclus qu'un polynôme entier par rapport à plusieurs quantités de la forme (5) est une somme de termes de la forme (5).
Plus généralement, soit /"une fonction développable suivant les puissances de x^y, z\ ?,ïx^y^ z sont développables en séries de termes de la forme (5), la fonction / sera elle-même développable en une série de termes de la forme (5).
Si, en effet, dans le développement de / suivant les puissances de x^ jK, ^, je substitue à la place de x^ y, z leurs développements, le résultat de cette substitution sera une série dont chaque terme sera un produit d'expressions de la forme (5).
Le n" 98 nous montre ensuite que, en intégrant par rapport à t une expression de la forme (5), on obtient encore une somme de termes de la forme (5), car il est utile de faire observer que
si n ( V ^ -i- A ) = cos I V f -h A — - )•
Gela posé, envisageons les déri\ées partielles de F| et de F(, qui figurent dans les seconds membres de nos équations. Posons
Les dérivées partielles de F, ou de Fy pourront se développer suivant les puissances des oL, ô^, ot-j, SX, sous la forme
où OIL' est un monôme entier par rapport aux 3L, ô^, ov], ù\. Quant aux coefficients B, ce seront, d'après la formule de Tajlor, des dérivées partielles d'ordre supérieur de F, ou de Fo, où les L, ^, r^ et A doivent être remplacés par leurs valeurs approchées
Les dérivées partielles d'ordre quelconque de F, el Fq peuvent,
comme ces fonctions elles-mêmes, se mettre sous la forme (4) du n" 99, c'est-à-dire sous la forme
