Exemples. — Soit, par exemple

^'i=yi^ y'i = — ^i\

dans ce cas :

^x' dy' —'^x dy = — '^y dx — ^x dy = — d Ç^xy

sera une différentielle exacte, de sorte que les équations (i), par suite du changement de variables, se transformeront dans les équations (i bis). C'est d'ailleurs ce qui se vérifie immédiatement.

o. Supposons que les x' soient liés aux x par des relations linéaires, et que les y' soient liés aux y par d'autres relations linéaires. Supposons de plus que l'on ait identiquement

Il est clair que les différentielles dy' seront liées aux dy par les mêmes relations linéaires que les y aux y. Dans l'identité (6), nous pouvons donc remplacer les y el les y par les dy et les dy' . Il en résulte que

^x' dy' — ^x dy = o

est une différentielle exacte et que le changement de variables n'altère pas la forme canonique des équations.