cos ( /ti À, + A-2 X2 + A ) DK

Si l'on y remplace les inconnues par leurs valeurs approchées, ces expressions se réduiront à une somme de termes de la forme (5), car A et DM. se réduiront à des constantes et /f, X) -H ^2^2 + ^^ 1^1

où

V = Al n 1 -+- k.2 iH ' /' ' = A -f- /m a » + X-j X| .

Nos coefficients B sont donc des sommes de termes de la forme (5). Je dis t[ue 5L/, 5;/, 87]/, §)./, quelc|ue loin que l'on pousse l'approximation, ne contiendront que des termes de la forme (5). En efFet, je suppose que cela ait été démontré pour la z?'*^""^ approximation, et je vais montrer que cela est encore vrai à la (n + lyènie Considérons, en effet, d'abord les trois premières équations (5 bis) du n" 93. Les seconds membres sont de la forme / B;}lV et, dans

le monôme S]V, on doit remplacer les oL, . . . par leurs valeurs de ,^ieme .^approximation. Par hypothèse, ces valeurs se réduisent à une somme de termes de la forme (5). Donc DfJ sera aussi une somme de termes de la forme (5) et, comme il en est de même du

coefficient B, il en sera de même de % Boil'.

Nos seconds membres sont donc des sommes de termes de la forme (5) et, en intégrant par rapport à t, nous voyons que les nouvelles valeurs des 5Lj, ô^/, or,/, c'est-à-dire leurs valeurs de (n -h i)"^""^ approximation, sont encore de la même forme.

Prenons enfin la quatrième équation (5 bîs) du n° 93. Dans le second membre, il faut substituer à la place des SL/, 3^;, Sri/ les valeurs de (n -(- 1)'^"^'' approximation et, à la place des SX/, les valeurs de Az"'™^ approximation. Toutes ces valeurs sont des sommes de termes de la forme (5 ).

On en conclurait, comme plus haut, que le second membre est une somme de termes de la forme (5), et, en intégrant, que la nouvelle valeur de SX/, c'est-à-dire sa valeur de (/^ -|- i'^"»'') approximation, est encore une somme de termes de la forme (5).

101. Petits diviseurs — On voit, en se reportant au n° 98, que, par suite des intégrations, le coefficient v figure au dénominateur. Il en résulte que, si v = o, les formules (i) et (2) deviennent illusoires et qu'on doit recourir aux formules (3). Mais

Donc V ne peut s'annuler que si le rapport — est commcnsu-

rable ou si

Or, la probahilité pour que le rapport — soit exactement

commensurable est infiniment petite. Nous pouvons donc toujours supposer que ce rapport est incommensurable et, par conséquent, que V ne peut s'annuler que quand les deux coefficients k sont nids à la fois.

Mais si ce rapport ne peut être exactement commensurable, il peut être à peu près commensurable ; dans ce cas, v peut s'annuler, mais peut devenir très petit. Si v de\ient très petit, les termes qui contiennent v ou une puissance de v au dénominateur deviennent très grands.

On dit alors que ces termes sont très grands par suite de la présence d'un petit diviseur.

Il peut j avoir pour chaque valeur de — une infinité de petits diviseurs. Supposons, en effet, que nous réduisions - en fraction continue et soit -- une des réduites successives; l'expression

où les a sont des entiers, est très petite; à chaque réduite correspond donc un petit diviseur; il y en a donc une infinité.

Mais, dans la pratique, on n'aura jamais à envisager que les premiers termes des développements, c'est-à-dire ceux qui correspondent à des valeurs relativement petites des entiers A, et Ao. Les premières réduites pourront donc seules entrer en ligne de

compte; et le plus souvent, si le rapport — n'est pas très près d'une

valeur commensurable simple, c'est-à-dire du rapport de deux

AI'IM.ICATIOX l)L- L\ iMKTIIOlU': DK LAGRANGK. 125

eiiliers petits, il arrivera (|ue l'expression

a-iiii — ai ii-i

ne sera pas extrêmement petite; car les expressions analogues sont d'autant plus petites qu'elles correspondent à des réduites de rang plus élevé. Dans ce cas, nous n'aurons pas à nous inquiéter des petits diviseurs.

Si, au contraire, le rapport— est très voisin d'une valeur commcnsurable simple, l'expression

correspondant à l'une des premières réduites, sera extrêmement

petite. Mais alors il se présentera la circonstance suivante. Soit ^

la réduite suivante; je dis que les entiers ,3i et ^o seront extrêmement grands, de sorte qu'on n'aura pas à considérer le petit diviseur

P,«i— Si/?2

qui ne figurera pas dans les termes du développement que l'on conserve.

Soit, en effet, - la réduite qui précède — : la théorie des fraclions continues nous apprend qu'on aura

(i désignant le quotient incomplet correspondant. Si nous posons

on sait que a est la partie entière de x de telle façon que x — a est compris entre zéro et un. On a alors

^ ^ Tl^2— Y2/il ^