ai /io

Par hypothèse le dénominateur y-^iii — aj/io est extrêmement petit, donc x et, par conséquent, a sont extrêmement grands. Il en est donc de même de 3, et de So. c. q. r. n.

Nous n'aurons donc à nous inquiéter ni de la réduite. ê^ ni a

fortiori des réduites suivantes. Donc, dans la pratique, nous aurons au plu & à nous inquiéter d'un seul petit diviseur.

Si, au lieu de trois corps, nous en avions un plus grand nombre, quatre par exemple (c'est-à-dire trois planètes), nous aurions

V = ky lly -f- /."2 «2 4- />";i "3-

La condition que le rapport — soit incommensurable devrait être

remplacée par la suivante : qu'il n'y ait entre les trois moyens mouvements /?,, n-^ et ^23 aucune relation linéaire à coefficients entiers.

10i2. Forme des développements. — Considérons maintenant nos inconnues comme fonctions des valeurs initiales \\ et r,^ des \i et des 't\i. Je dis c^^elles seront développables suivant les puissances croissantes des i° et des t)".

En effet, cela est vrai en première approximation où l'on a simplement \i= if, 'r\i= t,", tandis que les L/ et les )./ sont indépendants des ç)* et des vi". Il suffit donc de montrer que, si cela est vrai en /r''^'"'^ approximation, cela est vrai également en (/i -|- i)'^"^. Considérons d'abord les trois premières équations (5 bis) dun^OS dont les seconds membres sont de la forme

Nous avons moffltré gtie les coefficieMs B e^x-mêmes siont de la forme

^ A cos (/îi Xi -4- /:« X2 -4- /i) OÏL ,

où l'on doit remplacer les L/, ^z, r,/, \i par leurs valettrs approchées L°, i", 71°, fîit'i-'k^. Alors 511, qui est un monôme entier par rapport aux ç/ et aux v]/, deviendra un monôme entier par rapport aux i" et aux ■/]'■, et, comme les autres facteurs ne dépendent pas des i" et des r,^^, nous voyons que les B sont développables suivant les puissances des i" et des tj".

Quanta Oit'', c'est un monôme entier par rapport aux 8L, â|, ût;, OA, où ces expressions doivent être remplacées par leurs valeurs

de n'è'"« approximation. Or, ces valeurs, par hypothèse, sont développables suivant les puissances des l'^ et des vi". Il en sera donc de même de D]V et, par conséquent, de nos seconds membres

Si nous intégrons, nous verrons que les valeurs de (n -\- ly^^^^ approximation des L, ^, ri sont développables suivant les puissances des l^ et des r,". En raisonnant sur la quatrième équation (5 bis) comme nous venons de le faire sur les trois premières, on verrait qu'il en est encore de même des valeurs de (n -+- ly^'»*^ approximation des )w

Nos développements seront donc de la forme

(6) V !J.aA01Io^'"cos(vf + A),

OÙ OlLo est un monôme entier par rapport aux ^'^ et aux '/]^ et où A et h sont des constantes ne pouvant dépendre que des L^^ et des X)'. Comme nos expressions sont développées suivant les puissances de pt, nous avons en facteur une puissance de y. que j'ai mise en évidence. Posons

^? = \/2p9 cosoj^, 7)9 = y/2 p^ sinw?;

les p^ et les oj" sont les valeurs initiales des 0/ et des Wj. En raisonnant comme au n^ôQ on verrait que notre développement peut également se mettre sous la forme

(7) ViJi«ApO'7<pO'7'pO'73pO^<74cos/vf-+- V jo,wP + /îY

où A et k dépendent seulement des L^^ et des X" et où les entiers /> et ig satisfont aux conditions

2 g'j = Pi ( mod 2 ) , ïqi^Pi-

103. Coordonnées héliocentriques. — Nous avons vu au n" 6i comment les coordonnées a?i, x-i-, x^ d'une masse attirée par un centre fixe peuvent s'exprimer en fonction des éléments canoniques et nous pouvons appliquer les formules de ce n° 64 aux

128 CHAPITRb: V.

deux planètes fictives A" et B". Nous \ errons ainsi que

sont développables suivant les puissances des ^ et des r,, et que ce sont d'ailleurs des fonctions des L et des )^, qui restent lioloniorplies pour

Si donc nous faisons

L; = L° -H oLi, li = X" -+- iiit -H oÀ/,

ces coordonnées x' seront développables suivant les puissances des ^, des t), des SL, des oÀ. J'ajoute que les coefficients du développement sont de la forme Gcos(v^4-A), G et h étant des constantes qui dépendent seulement des L" et des a". Ils sont donc de la forme (6). Comme les quantités ^, yj, oL, ôX sont ellesmêmes développables sous la forme (6), il en sera de même des coordonnées x' .

En raisonnant comme au n" 69, on verrait alors que les x' peuvent également se développer sous la forme (7).

Ainsi nos coordonnées x' peuvent se développer soit sous la forme (6), soit sous la forme ('^), et il en est de même des coordonnées héliocentriques des planètes X\ — x-,. x> — x^^ X3 — x^. Xi — x-;, x :, — X:^^ Xc — Xg qui sont des fonctions linéaires des x' .

104. Classification des ternies. — Ainsi, soit dans les développements des éléments, soit dans ceux des coordonnées, le terme général est de la forme

[jL^AOllo^'" cos(v/ -H h).

Cela peut servir de base à une classification des termes; nous distinguerons d'abord les termes périodiques, les termes séculaires purs, et les termes séculaires mixtes.

Les termes périodiques seront ceux qui ne contiendront pas de facteur T" où le temps t se trouve en dehors des signes sin et cos.

Les termes séculaires purs seront ceux qui contiendront un facteur t^ et ne contiendront pas de facteur Irigonométrique

cos(v t -!- 11).