APPLICATION DE LA MÉTHODE HE LAGRANGE. I
Les termes séculaires mixtes sont ceux qui contiennent à lu fois un facteur /"* et un facteur trigonométrique.
Nous distinguerons ensuite les termes au point de vue de Vordi-e, du degré, du rang et de la classe.
L'ordre d'un terme est l'exposant a qui affecte le paramètre [j.. Ce qui justifie cette distinction, c'est la petitesse de ce paramètre, de telle façon cpie les termes sont d'autant plus petits qu'ils sont d'ordre plus élevé.
Le degré d'un terme est le degré du monôme dKo] ce qui
justifie cette distinction, c'est la petitesse des excentricités et des
inclinaisons. Gomme les i," et les r,." sont de l'ordre des excentri-
cités et des inclinaisons, les termes sont d'autant pies petits qu'ils
sont de degré plus élevé.
Le rang sera
c'est-à-dire l'exposant a du paramètre [^, moins l'exposant m de l. On voit aisément, en effet, qu'un terme où a — m est petit peut avoir une grande importance bien que a soit grand; si, en effet, a et m sont grands tous deux, le terme d'abord très petit croîtra rapidement avec le temps.
Quanta la classe, elle dépend delà présence des petits diviseurs au dénominateur. Ces petits diviseurs sont introduits, comme on Fa AU, par les intégrations successives.
Soit alors m' l'exposant du petit diviseur qui figure au dénominateur, ou la somme des exposants des petits diviseurs qui figurent au dénominateur, si l'on a été amené à en considéieiplusieurs. Nous avons vu, au n" 101, que cette dernière circonstance se présentera rarement.
Alors la classe d'un terme est, par définition,
lOo. Invariabilité des grands axes. — Reprenons l'équation
^'''^dt
et supposons qu'on veuille procéder à la seconde approximation. P. - I. 9
dFi
Pour cela, il faut substituer aux inconnues dans — ,,— leurs valeurs
de première approximation. Or, nous avons F, qui est développable sous la forme
Fi = V A DTl cos ( kl li^ ki À-, + /»),
la constante h étant d'ailleurs éoale à zéro ou -• On en conclura
dFi
dh
■ y A oit ki sin ( /.-i l , H- A-o X, H- /O.
Dans cette expression, il faut substituer, à la place des inconnues L/, ^/, Vj/, \i, les valeurs de première approximation
Li/ , :, . f,i . Aj — A/ -t- /i,r.
Il vient ainsi
-^ = — 2 ^oOlVo Av sin ( V ^ + /i' ),
où
V = kl ni -4- k-i/i^,
h'=k^}4-i-k,ll^/,,
où Ao est ce que devient A quand on j remplace L/ par L", et Ollp ce que devient DXL quand on y remplace Ç/ et Yj/ jiar ^" et Yj". Il vient ensuite par intégration
(8) L; = L? -f- jji V AoOrLo-;^[cos(v^ + /i'; — cos/i'].
On remarquera que dans la formule (8) figurent des termes périodiques, mais pas de termes séculaires. Un terme séculaire en t pourrait, en effet, s'introduire dans le cas où v serait nul, c'est-à-dire dans le cas où la formule (i) deviendrait illusoire et où il faudrait recourir à la formule (3).
Mais nous avons supposé que le rapport des moyens mouvements
— est incommensurable. Alors v ne peut s'annuler que si ki et /fo
s'annulent à la fois; mais alors A,- est nul et le terme correspondant disparaît.
Donc, si l'on s'en tient à la deuxième approximation, la plupart du temps suffisante dans la pratique, les développements des L/
APPLICATIOÎS DE LA AIKTIIODK DE LAGRANGE. l3l
et, par conséquent, ceux des grands axes proportionnels aux LJ ne contiendront pas de termes séculaires. Les grands axes exécuteront donc seulement de petites oscillations autour de leur valeur moyenne. C'est le théorème de Lagrange sur l'invariabilité des grands axes, si important au point de vue de la stabilité du système solaire.
Nous avons vu, au n" 99, c|ue, en deuxième approximation, le développement de X^ ne peut contenir de terme en t^ que si celui de L/ contient des termes en t. Il n'en contiendra donc pas, si le rapport des moyens mouvements est incommensurable. C'est ce que nous avions annoncé au n" 99.
106. Théorème sur le rang. — On pourrait craindre que, dans certains termes, on ait ni >> a, c'est-à-dire que le rang de ces termes ne soit négatif. Je me propose donc de démontrer les théorèmes suivants :
1° Dans les développements de \i^ r^i, S)^^, L^- il n^y a pas de termes de rang négatif. J'ai dit SX^- et non X,-, parce que dans \i nous avons le terme nit qui est de rang négatif.
2° // liy a pas de terme séculaire mixte de rang nul. Le rang de ces termes est toujours au moins égal à un.
3" Dans le développement de L,, il n'y a pas de terme de rang nul.
Ces théorèmes sont vrais à la deuxième approximation; en deuxième approximation, en effet, il n'y a que des termes trigonojnétriques ou des termes en f; il n'y a donc pas de terme séculaire mixte ; les termes en t étant multipliés par [jl sont de rang zéro; et, en vertu du théorème sur l'invariabilité des grands axes, il n'y a pas de terme en t dans les Lj.
Je dis maijitenant que si les théorèmes sont vrais en /î"^""^ approxijnation, ils le seront encore en (/i -h i)"^™*^.
Reprenons, en effet, nos équations (5 his^ ou (i4) et (i3) du n" 97; et, en particulier, l'équation (i5)
Je vais développer Fq de la façon suivante, suivant les puissances
des SL,-.
Fo= Fg-i-n, 0L1+ rt2ÔL,+ -(Cil 5Lf + -2Ci2 2LioL2^G22SL2) + *,
où <ï> représente l'ensemble des termes de degré supérieur à deux en 5L| , Sf^o.
Il est clair que FJ], /?,, /?2, C/;; sont des constantes ne dépendant que des L" ; j'ajouterai même que G,2=C2i = o, à cause de la forme particulière de la fonction F^ cjui est la somme d'une fonction de L'I et d'une fonction de L!I, mais cette circonstance ne jouera aucun lôle dans les démonstrations qui vont suivre. On aura donc
.7T- = "'^ Z ^^' '^''' ^ dQ = "'■ -- '' li ^'^( ^r. '^'^dur
Nos équations de\iennent alors
' ^ J. '', d'.,, J^ dL, ' A dLi
dl, ^^'
Dans les seconds membres de ces équations, il faut remplacer les inconnues par leurs valeurs de /i"'""' approximation; je dis c[u'on obtiendra ainsi les valeurs de [n + i)'^™^ approximation des oL/, 3^/, ùr^i^ ù').i. Pour les oL/, oç, et o-/]^, je n'ai rien à ajouter à ce qui précède puisque je n'ai rien changé aux trois premières équations; mais il est nécessaire de revenir sur les oX/.
Si nous remplaçons les inconnues par leurs valeurs de /i"'"" approximation, où l'erreur est de l'ordre de ^" , on commettra sur les dérivées de F| une erreur de Tordre de 'j." . et par conséquent
sur \x I -TT^dl et sur u. / / -,,-i <r/^ une erreur de l'ordre de u."+' .
' J dLi ' ,/ J «A/,. '
Il reste à étudier le terme
r^a dérivée -77- ne contient crue des termes d'ordre deux au moins dLi
par ra|)|)ort aux ôL. Remarquons Cjue les 3L sont divisibles par [7..
APPLICATION DE LA METHODK DE LAGRANGE. Ui
Or, soient x^ y, z Irois fonctions dont les développements^ suivant les puissances de u., soient divisibles par [j.. Soient x', y', z' des développements apju-ochés de x^ y, z, où le premier terme erroné soit en [j/', de telle sorte que les différences x — x', y — r', z — z' soient de l'ordre de [j.". Je dis que les différences xy — -^'.y', xyz — ^' y' s' seront divisibles par [J."+', c'est-à-dire que, si dans les produits xy, xyz on remplace x, y, z par leurs développements approchés x', y', z', l'erreur commise est de l'ordre de ;ji."+' ,
On a, en effet,
xyz — a:'y z' = irf{z — -s' ) -H ^s' ( r — J^' ) -*- JK' -s' ( ■'^ — ^')
et, par hypothèse, x — x' el y — y' sont divisibles par a", tandis que X el y' sont divisibles par |jl.
Le théorème s'étendrait évidemment a fortiori à un produit d'un nombre quelconque de facteurs.
Si donc dans un monôme entier par rapport aux oL, pourvu que ce monôme soit du second degré au moins, nous substituons aux oL leurs valeurs de /«'''""' approximation, Terreur commise sera de l'ordre de [j."+'.
Or, —,,- ne contient que dés termes du second de^ré au moins
par rapport aux oL. Donc l'erreur commise sur le terme
est de l'ordre de [j.""*"'. c. q. f. d.
Cela posé, j'observe que le produit de deux termes de rang positif sera une somme de termes de rang positif, que le produit de deux termes de rang positif ou nul sera une somme de termes de rang positif ou nul.
Si donc dans une fonction développable sviivant les puissances des ôL, Sç, ô-/), oa on substitue à la place des SL, oS, o-r^, ok des développements ne contenant que des termes de rang positif (ou bien positif ou nul), on obtiendra un développement ne contenant que des termes de rang positif (ou bien positif ou nul).
Si donc on substitue aux oL, oH, o-/], ù\ leurs valeurs de //'^'""' approximation, qui, par hypothèse, ne contiennent pas de terme
l34 CHAPITUK V.
de rang négatif, on obtiendra pour les dérivées de F, des développements où ne figureront que des termes de rang positif ou nul.
En intégrant par rapport à t^ on peut diminuer le rang d'une unité, parce que l'application de la formule (3) peut introduire un facteur t. En revanche, en multipliant par u, on augmente le rang d'une unité. Il résulte de là que les expressions telles que
rfFi
dt
ne contiendront non plus que des termes de rang positif ou nul.
Je dis de plus qu'elles ne pourront pas contenir de termes séculaires mixtes de rang nul. En effet, les termes de rang nul de l'expression (lo) correspondent à des termes de rang négatif dans
l'intégrale
6/Fi
et comme -7^ ne contient que des termes de rang positif ou nul,
l'intégrale ne pourrait en contenir que par l'effet de l'application de la formule (3); or l'application de cette formule ne peut introduire que des termes séculaires purs.
En résumé, nous pouvons d'abord conclure qu'en {ii + i^eme g^p proximation,
5L/, Oç/, OTj,
ne contiennent que des termes de rang positif ou nui et pas de de termes séculaires mixtes de rang nul. Je dis maintenant que
ne pourra contenir de terme de rang nui. D'après le n° 100, on aura
où oïl' est un monôme entier par rapport aux SL, 5ç, Sv), SX et l'on doit j substituer les valeurs de /i'"""^ approximation de ces quantités.
