APPLICATION DE I.A MÉTIIODK DE LAGRANGE
Quanl à B, c'est une des dérivées partielles de --,<- et l'on doit y substituer aux inconnues leurs valeurs de première approximation
Celte dérivée partielle de -jy-, étant aussi une dérivée partielle de F,, sera, comme nous l'avons dit au n° 100, de la forme
V A cos ( Al X 1 4- /.■, Ào ^ h ) 011 .
Mais ki ne pourra être nul; car les termes où ki serait nul disparaîtraient quand on différentierait par rapport à 'ki et, par conséquent, ne pourraient exister ni dans -~ ? ni dans ses dérivées.
Si, comme nous Favons dit, nous substituons aux inconnues leurs valeurs approchées, il arrive, comme au n'' 100, que AOIL se réduit à une constante G et />•, )., + A-o^^o 4- /? à v ^ -h h' ; on a donc
B = "^C cos(viî-i- h'),
où
V = /l'i /Il + /i;) no,
et, comme ki n'est pas nul, v ne peut pas être nul.
Cherchons si Dll' peut contenir des termes de rang- nul. Le monôme Dit' est le produit d'un certain nombre de facteurs oL, SX, o^, §7) ; et l'on obtiendra les termes de rang nul de d\V en réduisant chacun des facteurs du produit à ses termes de rang nul.
Si, en effet, nous prenions dans l'un des facteurs un terme de rang positif, comme ce terme devrait être multiplié par d'autres termes provenant des autres facteurs et dont le rang serait positif ou nul, cela donnerait dans le produit un terme de rang positif.
Or, dans chacun des facteurs, les termes de rang nul sont séculaires purs. De plus, le produit de plusieurs termes séculaires purs est évidemment encore un terme séculaire pur. Donc, dans le produit OÏL', tous les termes de rang nul seront séculaires purs.
Comme tous les termes de B contiennent un facteur trigonométrique cos(v^ + h') où v n'est pas nul, tous les termes de rang nul de Bon' seront périodiques ou séculaires mixtes. Il en sera
i36 ciiAi>rniE v
donc encore de même pour les termes de rang nid de / ^ B D\l'
ou ,.
dki
Pour intégrer un terme périodique, ou séculaire mixte, il faut appliquer la formule (i) ou la formule (2), ce qui ne diminue pas
le rang. Donc dans
il n'y aura que des termes de rang nul ou positif. En multipliant par jj., on augmentera le rang d'une unité.
Donc, dans 8L/, il n'y a que des termes dont le rang est au moins égal à ui\ . c. o. f. d.
Ce résultat peut être regardé comme une généralisation du théorème sur l'invariabilité des grands axes.
Passons maintenant à §)>/ et à la quatrième équation (g); dans le second membre de cette équation, il y a trois termes que nous considérerons successivement. Commençons par le troisième qui est de même forme c|ae les seconds membres des trois premières ('quations (9). On verrait, comme pour ces trois premières équations, que ce terme ne peut donner ni terme de rang négatif, ni terme séculaire mixte de rang nul.
Passons au second terme
.1 dU;
dt.
D'abord -jt- ne contient que des termes du second degré au
moins par rapport aux 5L ; les oL ne contiennent que des termes de rang un au moins; un produit d'au moins deux facteurs SL ne pourra contenir que des termes de rang deux au moins. Par l'intégration, le rang peut diminuer d'une unité, mais il reste au moins égal à I. Donc pas de terme de rang négatif, ni de terme séculaire mixte de rang nul.
Passons au premier terme
^i^"jf'ëi'"-
Nous avons vu que dans -j^ tous les termes de rang mû sont
APPLICATION DE LA MÉTHODE DE LAGRANGE. iSj
périodiques ou séculaires mixles. Une double intégration ne changera pas leur rang puisqu'il faudra appliquer les formules (i) ou (2); ce rang- restera donc nul et, quand on aura multiplié par [JL, il deviendra égal à i .
Pour les autres termes, leur rang est au moins égal à i. S'ils sont périodiques ou séculaires mixtes, la double intégration ne changera pas leur rang- et, après multiplication par [x, ce rang sera au moins égal à 2. S'ils sont séculaires purs, la double intégration diminuera le rang- ,de 2 et la multiplication par p. l'augmentera de I, de sorte que finalement ce rang sera au moins égal à o. Ils resteront d'ailleurs séculaires purs.
Ainsi, pas de terme de rang- négatif, pas de terme séculaire mixte de rang nul.
, Donc la valeur de (/? H- i)'^""^ approximation de h'ki ne contient ni terme de rang négatif, ni terme de rang- séculaire mixte de rang nul. c. Q. F. D.
