TRA.NSFORMATIONS DIVERSES DES DÉVELOPPEMENTS
107. Lemmes divers. — Pour aller plus loin, je vais m'appuyer sur une série de lemmes qui, au premier abord, paraîtront presque évidents, mais sur lesquels pourtant ils est nécessaire de donner quelques explications, parce que j'en ferai un fréquent usage.
Soit
cp(f) = y A cosv/ -f- ^ B sin vi
une somme 'de termes trigonomélriqvies. Je supposerai d'abord que le nombre des termes est fini.
Je dis que, si cp(z) est nul pour toutes les valeurs de t, tous les coefficients A e^ B sont nuls.
Je suppose bien entendu que tous les termes semblables (c'està-dire ceux qui contiennent un même facteur cosvf ou sinv^) ont été réunis en un seul.
Soit en efî'et A'cosv'^ l'un des termes du second membre. On aura
- / o{t) cosv t ai = • 1 ;
2 A rsin(v -f- v')f sin(v — v')fl ~t L V -h v' V — v' J
sin2(v -t- v') - sin2(v — v')-
Il va sans dii'e que, sous le premier signe ^> on doit prendre tous les termes, sauf celui oii v = v'.
TRANSFORMATIONS DIVERSES DES DÉVELOPPEMENTS. iSg
Faisons maintenant croître t indéfiniment; le premier terme —
est constant, les autres tendent vers zéro, car on a t au dénominateur et l'on a au numérateur des lignes trigonométriques qui restent finies. Donc
Il m - / o( t)flf — —
et si 'f{t) = o, on aura
Ainsi tous les A sont nuls, et l'on démontrerait de même que tous les B sont nuls.
Je suppose que
V = A") «1 -^ /i2 Jlo,
f^^ et n.2 étant incommensurables entre eux, A"i et /to étant des entiers.
Introduisons deux variables indépendantes (Vj et Wo et posons
/{<vi, W.2) = ^ xV cet (/il M'i-T- A--2H'2 )-+- ^B sin(X'i tv, -4- Xr^cvo),
Quand on fera «r, = /i, ^, (Vo = /'a^j on verra k, w, + A( Wo se réduire à yt et /(wi, «'2) à 'f{t). On a donc
/(iiit, rut) = 'f(t).
Si nous supposons comme plus haut que 'f{t) est nul pour toutes les valeurs de Z, les coefficients K et ^ seront tous nuls et par conséquent /{wi, iVo) sera iclentique77ient nulle.
On peut également conclure que, si f{w\^ w^) est une fonction quelconque de la forme que nous venons d'envisager, et si /{ni t^ n^t) = o, /( w,, (v-2) sera identiquement nul; mais ici il est nécessaire de supposer que /!( et /lo sont incommensurables entre eux, sans quoi deux termes distincts de f(Wi,(V2) poui-raient donner dansy(/i) t, n^t) deux termes contenant un même facteur cosvi et qui pourraient se détruire mutuellement.
J'ai supposé jusqu'à présent que le nombre des termes était fini ; il serait aisé d'étendre le résultat à une série convergente, pourvu que la convergence soit absolue et uniforme. Mais les séries de la
l4o CHAPITRE VI.
Mécanique céleste possèdent-elles une semblable convergence? Non, en général, elles ne convergent que si les termes sont groupés et ordonnés d'une façon convenable. Il serait donc nécessaire d'entrer dans une discussion approfondie des questions de convergence, cjuestions que je désire laisser de côté clans cet Ouvrage.
Aussi aborderai-je la question par une tout autre face. Je suppose c|ue '-^{t) soit obtenu par une suite d'approximations successives; que le nombre des termes, fini à chaque approximation, aille en croissant d'une approximation à la suivante et croisse ainsi indéfiniment. Soient cp, (7), '-po(^), . . ., 'f«(0' • • • ^^^ valeurs approchées obtenues successivement pour cp(^). Je suppose que 'j>\{t), 'f2(^), Oslt), ..., '-^nii) soient nulles pour toutes les valeurs de t, de sorte qu'à chaque approximation , '-p(^) satisfasse à la condition d'être identiquement nulle. Alors il est clair que tous les coefficients de 'j,(^), de '-32(^), ..., de z>,/(j)^ ... seront nuls et par conséquent aussi ceux de 'f (^). Le lemme est donc vrai à quelque approximation que je m'arrête.
Voilà dans quelles conditions nous appliquerons notre lemme à nos séries; sien effet le développement de [jlF, contient un nombre infini de termes, il est évident que, dans la pratique, on ne prendra qu'un nombre fini de ces termes, de sorte que les développements qu'on en déduira n'auront non plus qu'un nombre fini de termes. Plus on prendra de termes dans [J-F,, plus on en aura dans les autres développements, et plus seront exactes les valeurs cjue l'on obtiendra pour les éléments canoniques et les coordonnées. 11 nous suffit que notre lemme soit applicable à chaque approximation. C'est cette circonstance c[ui nous j^ermettra d'appliquer nos lemmes aux séries de la Mécanique céleste. En résumé, nous pourrons les appliquer parce que nous pourrons toujours supposer [j. F| réduit à un nombre fini de termes.
Soit maintenant
/"'cosv/ -+- > B^'" s'invt
une suite de temnes. Je suppose que l'exposant entier m ne dépasse pas une certaine valeur.
Je dis encore que, si '^{t) est nul quel que soit t^ tous les termes sont nuls.
TllANSFORiMATlONS DlVtRSKS DES DIÎVELOPPEMEXTS. I.| [
Soit en eiYel p la plus grande valeur de l'exposant m, je dis que tous les termes en iP sont nuls. Car, si
\' //' COS'j' t
est l'un de ces termes, on voit comme tout à l'heure que, pour t = ce,
Il m / o(l) cosv df = •
Donc A' est nul si (s(t) = o.
11 n'j a donc pas de terme en tP ; et comme maintenant la plus grande valeur possible de l'exposant est/» — ■ i, on démontrera de la même manière qu'il n'y a pas de terme en tP~^, et ainsi de suite.
Supposons
et posons de sorte que
/(/, /lil, Hii) = 'f.(/).
Si 'j>(l) est nul quel que soit t, tous les coefficients seront nuls et f{-z, (Ti , (V'o) sera nul quels que soient x et les w.
Soit maintenant
o{ix,t) = \^Au'-</"' cosv^ -\- ^Ba*^/'" siiiv/.
Je suppose que Texposant m ne puisse dépasser a, c'est-à-dire, ■pour employer le langage des numéros précédents, qu'il n'y ait pas de terme de rang négatif. Je supposerai d'ailleurs que '^(mi-, t) contient un nombre infini de termes; mais qu'il n'y en ait qu'un nombre contenant en facteur une même puissance de jji; de telle façon (jue le coefficient de jj.* se compose d'un nombre fini de -termes.
Je pose de même
+ V' B^iT'" Sin (/l'i H'i H- ^'2 «'2 )•
li'l CHAPITRE VI.
Si Ç5 (p., ^) est nul quels que soienl [j. et t, le coefficient de ijl'^ devra être nul quel que soit f, dans ce coefficient," l'exposant di est limité puisqu'il ne peut dépasser a ; nous pouvons donc appliquer le terme précédent et conclure que / (i>., t, w, (Vo) est nul quels que soient [jl, -, iVi et(V2. Je pourrais dire aussi, mais pourvu
que — soit incommensurable , qu'une fonction de la forme précédente
est identiquement nulle si
/( [JL, t, riit, n^t) = o. f
108. Transformation des développements. — Nous avons trouvé au n" 102 pour les éléments canoniques des développements de la forme
"y rJL'-' A t'"^ COS ( V t — h) Mo:
où
m Sa.. V ^ Al /«i -;- A'o «2-
Considérons l'un cpelconque des éléments canoniques, par exemple L/, et soit
Li = 'V iJ-'-^At'" COS (v / -t~ h ) Mo,
et soit ensuite
(n ) L; ^ V [JL» At'" COS ( kl ii'i -+- ki W.2 -\- h) Mq
une fonction de trois variables t, (v,, w.,. Il est clair que, si l'on fait
Ai Wi -h k2W,, se réduira à v^ et L*- à L/. On aura donc
On définirait de même q*-, r^, ÔA*.
Je dis ùk*- et non X^*, à cause du terme en nit qui figure dans A,; on doit, en effet, prendre non pas
TKANSFOHiMATlOXS UIVEKSKS DKS DÉVELOPPEMENTS. l43
mais bien
On voit, de plus, que
dL} clLI dL^
«T dwi au-.
,j . , dLi se réduit a —rr pour
Il est clair que les dérivées de ^*-, r^*- , A^* jouissent de la même propriété.
Soit F" ce que devient F, quand on y remplace L,, )x,-, ç,-, '^,jpar LJ, XJ, ^J, Yij*. Si alors dans la dérivée pai^tielle
dF^
on remplace LJ, À^*, ;J, r,^* par L,, À/, ç/, 7i/, cette dérivée se réduira à
dY
dl,
Si, dans -pr^ nous remplaçons les variables L^*, ... par leur dé-
veloppement (i i), on obtiendra pour -^ un développement de même forme :
(n bis) -^ = ^l<^\'-z"'coi{/^iWi-i~kiW.y-i- h')DW^.
Si, dans ce développement (i i bis)^ on remplace t, (v,, tVo par t, /i| /, Wo^, c'est comme si l'on remplaçait L^*, . . ., par L/, ... ; et
dF* ,, . , ^F 1
-^zr-- se réduira a -^r-: nous aurons donc dk^ dki^
-^ = V [JLaA'ir'"cos(v^H- A')01i;.
Envisageons l'équation
' dx dwi div.2 dki
Le premier membre de cette équation est développable sous la
