ClIAPlTRli VI
Ibrme
'V p.^ A-l'" cos ( kl (Pi -+- ki «'2 H- /') 31^0,
puisqu'il en est ainsi de L*, de ses dérivées el de -jyr' Pour ce premier membre se réduil ù
il est donc nul, en ^ertu de l'équation (5) du n° 79.
Donc, en vertu des lemmes du n' 107, il sera idenlicjuement nul, quels que soient t, cp, et w^-
On démontrerait de même les équalions
/ fil* di) di) dV* --j- + «1 -H- -^ «2 "T '- -j-^ = «1
, fZX; d\) dl^ dV*
WJ.bis) { —f— + 7ii— -n,—. —— == o,
d-z dwi dix'i d\j,
dr\f dr.^ dr.1 dF*
drz dwi div-i dli
Si, maintenant, nous j)OSons
<:', î| et £0 étant des constantes quelconcjues, nous aurons encore
d\^* d\./ dLJ c/L.*
dt dx rt(ï'i " t/u'..
<■! léqualion (12) de\iendra
•ou, en supprimant les astéricpies de^ envies inutiles,
d\.i dV ~dï ~ ~ TCki'
Les équations (12 bis) nous donneront de même
d\i __cW d\i dV
dt df\i dt d\.i
Ce sont là les équations (5) du n" 79
d\.) dV* dt ~" <r/À;
dii __dF dki dV^ (hy dF
dt ~ dq,' dt " dl.,' ~dT ~ d\i
TRANSFORMATIONS DIVERSES DES DÉVELOPPEMENTS. l4&
Ainsi donc, si nos développements [\ \) satisfont aux équations du mouvement, c'est-à-dire aux équations (5) du n" 79, quand on y .fait
■z=t, wi= Hif, w.2= rut,
ils y satisferont encore quand on y fera
z = t -i- c, wi— n-it -h Zi, HP2= n, ^ -H -2>
quelles que soient les valeurs des constantes c et e.
Gomment avions-nous le droit d'appliquer noire lemme comme nous l'avons fait? Il est vrai que F contient une infinité de termes, mais, dans la pratique, nous n'en prendrons jamais qu'un nombre fini. Plus nous voudrons d'exactitude, plus nous en prendrons, mais nous n'en aurons jamais qu'un nombre fini; nous pouvons donc raisonner comme si F ne contenait qu'un nombre fini de termes; nous obtiendrons alors pour les L^, ..., des développements de la forme ( i i) ; seulement, dans ces développements, le coefficient de [j.* ne contiendra cju'un nombre fini de termes, ce qui est, comme nous l'avons vu, la condition pour que le troisième lemme du n° 107 soit applicable dans F [vide infra n" 130).
109. D'ailleurs, les équations (12) et (12 bis^ peuvent se démontrer sans le secours des lemmes du n° 107. Je dis crue l'on pourra trouver pour les inconnues
Lr, \h '^h ^v- — "'i
des développements de la forme (11) c|ui satisfassent aux équations (12) et (12 bis) et qui se réduisent à
pour
T =3 H'i = tr2 := o.
Nous aurons, en efî"et, en première approximation, c'est-à-dire en négligeant |jt. et en réduisant F à F^,
Supposons que nous ayons obtenu pour nos inconnues des valeurs de n'^™® approximation, où l'erreur soit de l'ordre de [x«; P. — I. 10
l4:6 CHAPITRE VI.
comment obtiendrons-nous des valeurs où l'erreur soit de l'ordre de [Ji«+' ?
Dans les dérivées de F*, dans l'équation (12), ainsi que dans la première et la dernière équation (12 bis), substituons à la place des inconnues leurs valeurs de «'«"'<> approximation. Après cette substitution, ces dérivées de F* sont développées sous la forme (i i), de sorte que l'équation (12), par exemple, s'écrit
dz diVi ' a»'2 ■^•^
et l'on en tire aisément la valeur de LJ ; on trouve
A chaque terme du second membre de (i3) corres]3ond dans (i4) Lin terme que je désigne pour abréger par C et dont voici la valeur :
1° A un terme
dans (i3) correspondra dans (i4) uii terme
fil -+- 1
2" Au terme
B cos (kl wi -\- Ao tï^2 -T- li ) correspondra
„ „ sin (Â:i (t'i-i- Ao »', + A) — sinA
L, = Co = D 1 j—
Al /l) -i- /i2«2
3" Au terme
B - cos ( A] (ï' 1 -I- A"2 W-i -i- Il )
correspondra
sin (/lj (Vi -1- A-2«'9-f- A) cos (/ti (V, H- Â, (ï^., + A) — cos A
Al 7^1 -4- ki «2 ( A'i tii -\- ki n-i y
4" Plus généralement, soit C„j le terme de (i4) qui correspond à
B •:'« cos ( A-i Wi -4- kl w-, H- h),
TRANSFORMATIONS DIVERSES DES DEVELOPPEMENTS. l\y
de sorlé que
^ + n, ^ + «., ^ = Bt'« ces (/m i^'i -i- /c. c»^, + A ) a- awi ' dw-i
et que C„j= o pour t = n-, = iVo ;= o.
On aura la formule de récurrence
Bt"' sin( Al iï^i+ A-jtPa-^- /') '" ^^Gm-i
' '" ~ Al/il-t- /i, 'i2 /iTl Wi -1- /l2 /Ï2 ^/i
Si, en effet, nous posons pour abréger
kiWi-+- k^ Wi -!- /i = o, /i 1 /? , -i- /i, 7^2 = V
et
«- rtfVi a(T'2
il viendra
AG,„= B-:'«cos'f, AC,„i = Bt'«-1cosu
et, en differentiant cette dernière par rapport à A,
A j-, — = — b-'"-isinc.
D'ailleurs
A (Bt'" sino j = V Bt'" coso -\- //tB-:'"-' sincp j
et, par conséquent,
^ -i — n — ■ = Bt'" coso.
V V dh I '
11 reste à démontrer que l'expression
B-:'" sinu m dQ,,n-\ ' ~j ' "^ V dh s'annule pour
En eff'et, le premier terme s'annule parce qu'il contient t en facteur; d'autre part, C,m i s'annule par définition et cela quel que
soit h\ il en est donc de même de — ^^ et du second terme.
dix
La formule (i5) est donc démontrée et elle nous permettra de calculer C„i, puisque nous avons plus haut calculé Cq. Celte formule peut remplacer la formule (2) du n°..98.
l48 CHAPITRE VI.
Nous pouvons donc calculer LJ en partant de l'équation (12) (on traiterait de même la première et la dernière équation (13 bis). On démontrerait comme au n° 95 que l'erreur commise sur ces nouvelles valeurs de ( /z + i)'^"**^ approximation des inconnues L*, H*, Ti*- est de l'ordre de [j."+' .
Prenons ensuite la seconde équation (12 bis)] substituons-j, dans la dérivée de F*^, à la place des L*, ç^*, rj, leurs valeurs de (/z 4- i)'^™^ approximation que nous venons de trouver et, à la place des )vj, leurs valeurs de /^"'™'' approximation.
Traitons ensuite l'équation comme nous avons fait pour l'équation (i3). Nous verrions, comme au n° 9o, que la valeur de ")*■ ainsi obtenue est exacte aux termes près de l'ordre de jji."+'.
Nous obtiendrons donc par approximations successives des développements de nos inconnues, qui seront de la forme (11), satisferont aux éqviations (12) et (12 bis) et se réduiront à L", E", yi", )." pour T = (v, ^ (ï'o = o.
Remplaçons-j -: par t^ (v, et (Vo par iiit et n^t; nous aurons des développements qui satisferont aux équations (5) du n" 79; quand on y fera ^ = 0 (ce qui revient à faire t= (V'i = (V'o= o), ces développements se réduiront bien àL)|p ^", r^l^ 1" ; ils sont donc identiques à ceux que nous avons trouvés au n" 100.
Nous voyons donc que si, dans les développements du n° 100, on substitue Ai (v, + A^.(ï'o à la place de v^, quand le temps est sous le signe cos et t à la place de t qviand t est en dehors du signe cos, on obtiendra des développements de la forme (11) qui satisferont aux équations (12) et (12 bis). c. q. f. d.
On aura donc obtenu les résultats du n" 108 sans se servir des lemmes du n" 107. J'ai cru cependant devoir indiquer la première marche, non seulement parce que ces lemmes me seront encore utiles plus tard, mais surtout parce que l'on voit mieux ainsi comment on peut être conduit par une suite naturelle d'idées au théol'ème du n° 108.
110. Comparaison des développements. — Nous avons obtenu au n" 102 des développements de la forme
V [JL«AOKo«"'COS(v<+/0
TRANSFORMATIONS DIVERSES DES DÉVELOPPEMENTS. f49
qui dépendent de 12 constantes d'intégration, à savoir les deux L^^, les deux "X^, les quatre l^ et les quatre "o".
Nous avons obtenu aux n°' 108 et 109 d'autres développements de la forme
^ -rj « A 011 0 T'" cos ( A'i w 1 4- A-2 w, -+- Il ),
où l'on doit faire
T = t-\- c, a'i = ni t -\- £/,
c, £| et £2 étant trois constantes d'intégration.
Ces développements nouveaux contiennent trois constantes arbitraires d'intégration de plus que les précédents. Comme nos équations différentielles forment un système du douzième ordre, trois de ces quinze constantes ne sont pas réellement distinctes des douze autres; nous verrons plus tard le parti que l'on peut tirer de celte remarque.
Nous pourrions donc sans restreindre la généralité supposer c = o. Il est à remarquer que si l'on adopte le développement (11), les constantes L", i?, 'r\\ n'ont plus la même signification que dans le développement primitif.
En effet, pour ^ = o, il n'arrive plus que
se réduisent à
Cela n'arriverait que si l'on supposait c ^ £| = So = o, parce que l'on retomberait alors sur le développement primitif. Seulement les différences entre L^^ et la valeur initiale de L;, par exemple, sont de l'ordre de a.
En raisonnant comme au n° 69, on verrait que l'on peut passer du développement (11) à un autre de la forme
(16) 2 !^*A(PÎ)'''(pl)''=(P°a)^<PD^-'" ces (^ A-(P -h2/>/<+ A
où l'on a, d'ailleurs,
-i-qi^Pi (mod-2), 'i.qi^\pi\.
On verrait, d'ailleurs, comme au n° 103, que les coordonnées
l5o CHAPITRE VI.
héliocentriques peuvent également se dévelojDper soit sous la forme (ii) soit sous la forme (i6).
111. Symétrie. — Supposons que nous comparions deux systèmes de trois corps A, B, C et A, , B, , C, ; dans les deux systèmes les masses seront les mêmes. A l'oi^igine du temps, les deux triangles ABC et A|B|C| sont symétriques par rapport au plan des XfXs; les vitesses initiales des points A,, B,, C, sont égales et directement opposées à trois vecteurs qui sont symétriques (par rapport à ce même plan) des trois vecteurs cpii représentent les vitesses initiales des points A, B, C.
Dans ces conditions, il est clair cjue la position du triangle ABC au temps t sera symétrique de celle du triangle A,B,C) au temps — t.
Pour passer de la situation du système ABC au temps t à celle du système A|B,C| au temps — t, il suffit de changer
(17) ip'i, 072 X'.^, L,-, X/, ^i, r^i, Pi, Ml
en
(18) .r',, — .r;, ^'3, L/, —II, ^i, —r^i, pi, — oj,-.
Si donc nous changeons
en
les quantités (17) devront se changer dans les quantités (18). Prenons donc le développement (16) et supposons
et changeons-y t en — ^, w° en — to" et par conséquent 1 en — -^ \vi en — Wi.
Changeons en définitive le signe de t et ceux des (v et des oj". J.es quantités (i5) devront ou ne pas changer, ou bien changer de signe; leurs développements contiendront donc, ou bien rien que des cosinus, ou bien rien que des sinus. C'est-à-dire que la constante h devra être toujours égale à o, ou à — '" •
TRANSFORMATIONS DIVERSES DES DEVELOPPEMENTS. l5l
Elle sera égale à o, si m est pair et à — f' si m est impair dans les développements de
et à — - si m est pair et à o, si m est impair dans les développements de
Si, an lien de la forme (i6), nons adoptons la forme (ii), la
constante h sera encore égale à o, on à
Elle sera égale à l'une on à l'antre de ces quantités, suivant celle des inconnues (i^) qu'il s'agit de développer, suivant la parité de l'exposant de t, et celle des exposants des Xt^ dans le monôme DTio (cf- n° 86). On remarquera que le résultat précédent suppose que les 1" sont nuls; nous pouvons faire cette hypothèse sans restreindre la généralité puisque avec nos trois constantes nouvelles c, s,, £■> nous avons encore une constante de trop, même avec l'hypothèse
>.o = Xo = o.
i 12. Faisons maintenant tourner tout le système d'un angle s autour de l'axe des x^ ; nos formules, indépendantes du choix des axes, devront conserver leur valeur. Or, cela revient à changer À/, a" en ^i-h s, X^^H-£, et co^- en m^ — e. Dans ces conditions L/, x'.j (et ^(j) ne changeront pas, }v/ se changera en )vi+ £•
a:\ etx'.y se changeront en x\ coss — x'.^ sin e et x\ sins -+- x'.^ coss ; x',^ et x'-^ subiront une transformation analogue ; \i et 'f\i se changeront en \i cos£ -f- 'r\i sins et — \i sins H- 't\i cos e.
Dans ces conditions, voici quelle semblerait être la généralisation naturelle des théorèmes n"^ 70 et 87 : supposons qu'on ait développé, par exemple, LJ sous la forme (i6); il semblerait que l'on dût avoir
Sous cette forme, le théorème serait faux.
