Mais nous pouvons transformer nos développements de la

l52 . CHAPITRE VI.

façon suivante. D'abord dans les développemenls (i6) figurent deux constantes A et h qui dépendent non seulement des L", mais ■encore des )\". Il est clair que nos inconnues sont des fonctions périodiques des X?, et qu'il en est de même de Acos/t et Asin/i. Car quand on augmente les }^", c'est-à-dire les valeurs initiales des longitudes )v/, de multiples de 2-, nos inconnues oL*, &ç*, ori^*, B A* ne doivent pas changer. Donc Acos/i et Asin// peuvent se développer suivant les sinus et les cosinus des multiples des'Â|', de sorte que nos développements (16) prendront la forme

►^[x«Ao(p?)'?i(p°)'7.(p°3)'^^

(16 his)

Aq et Ao ne dépendant plus cette fois que des L". J'ajouterai que,

d'après le n° 111, h^ est une constante numérique multiple de -•

Il n'y a aucune raison pour que les A'/= Ji^. Mais nous voyons que l'on aura

dans les développements de oL^* et de o\*^ et

dans ceux de 5^* et otj^*. Et, en effet, si l'on change les valeurs initiales \1 et l^}l en X"+£, \\ — s, on vient de voir que LJ ne change pas, que XJ se change en X* 4- s, i* et tiJ en i* cos s. + r,^* sine et — ^j*sin£ + 7i*cose (c/. n° 70).

Dans les développements (i(3 6/5), nous avons pris pour constantes arbitraires les valeurs initiales LJ', X", \\ et rj" de nos inconnues. Mais nous pourrions faire un autre choix.

Supposons qae, dans les développements (16 his^^ on supprime tous les termes qui dépendent de t ou des w^ et qu'on ne conserve que les termes constants. Soit Lj ce qui restera du développement de L* après cette suppression; alors Lj ne sera autre chose que l'intégrale

„27r ^27r - — - I j IjJ dwidw^

4 ~ Jn .y 0