TRANSFORMATIONS DIVERSES DES DEVELOPPEMENTS. 13J

pour T = o ; ce sera en quelque sorLe la valeur moyenne de L* pour

On définira de même H/ et 7)^'; quant à )vj ce sera de même ce qui reste du développement de )v^* après cette suppression, de sorte que

pour T = o.

On voit queLj, 1^ , ^j , ri^ sont des fonctions des anciennes constantes L?, a", i^-, -/i^- et du paramètre jj.. Elles sont développables suivant les puissances de a et, pour [j.= o, on a simplement

T1 T0 )1)0 tl ÎO yl Y,0

Quant aux différences Lj — L«, ).; — ).«, Ij — 1% 7,} — -n'J; elles sont développables suivant les puissances des i" et des r,", et périodiques par rapport aux )v?. Cela résulte immédiatement de la forme des développements (ii), (i6) et (i6 bis).

Soient donc

C19) L/=L9-^2i^r^^°rro'^'(2^^'''^2^''''"^''0

où I I est mis pour abréger pour le produit

Ce développement (19) se déduit, comme je l'ai dit, du développement (16 bis) en supprimant tous les termes dépendant des (t' ou de T. Nous pourrions écrire aussi

(19 bis) L} = Lf-^^ix^XoO\'^oCOs(^

en partant des développements (i 1).

Nous aurons d'ailleurs d'autres équations (19 bis) de même forme pour définir \\ ., i^' , ■r\\.

De ces équations (19 bis) nous pouvons inversement tirer les L«, \l II -n^ en fonction des L;, X], V^ 'ril- -^l^rs L», X», i^ Yl" seraient développables suivant les puissances de [x et pour [^:=o se réduiraient i^espectivement à L^' , Xj, Ij, T^j. De plus les différences L9 — L^!, A'^ — V-, l^—l^, '^" — "^t- seraient développables

suivanl les puissances des ^j et des r^- et périodiques par rapport aux )>j . Nous pourrions donc écrire

(•20) Lo = Li +2 -^^ Al oïl; cos (2^"^-^^/ -+-2^'"'' "^ ^'^

où A| et /i, dépendent seulement des L^- et où 011 '^ est un monôme entier par rapport aux V- et aux r,^' ; on aurait des développements analogues pour a", ç^-, Tj".

Reprenons donc les développements (i i) et substituons-y à la place des L^^, X^, ^^, yj" leurs valeurs (20). Il est clair que oL*, 3)vJ, oS*, oYjJ seront développables suivant les puissances de p., de T, des ç^', des r^- et périodiques par rapport aux «' et aux X^- ; nous aurons donc

(21) Lj =LJ -i-^ix^-^X,DKr."'cos(^k,a^^-^^k',r,+ /n^

où A, et hi dépendent seulement des L^! et où DTot est un monôme entier par rapport aux q- et aux Tj^- . On aurait d'ailleurs d'autres développements de même forme pour XJ, ç*, y)*, avec cette différence que dans le développement de ).*, la partie indépendante de ^ serait «',+ A^' et non pas simplement A^) . Si nous posons

? ' = /^ ?/ cos ojj , r, } = sj-i p î sin co j ,

le développement (21), d'après le raisonnement du n° 69, prendra la forme

\ L; = Ll-y[^'^Ai(pl)7.(p|)7.(pi)73

f X (pi yi.'jn COS [^ki^Vi-^^k\ M-^^Pi^\ ^ h,

où nous aurons toujours les mêmes relations entre les entiers p et 2y.

Les développements (21) diffèrent donc des développements (22) en que l'on a pris pour constantes d'intégration non pas les valeurs initiales, mais les valeurs moyennes des inconnues.