Comment aurait-on pu parvenir directement aux dévelop

TRANSFORMATIONS DIVERSES DES DEVELOPPEMENTS. ïi)

pements (21)? Il aurait suffi de prendre les équations (12) el (12 bis), ainsi que les équations (i3) qui s'en déduisent, et d'en poursuivre l'intégration par les procédés du n" 109 mais CH'ec une différence. Au lieu de prendre

/il/ii-i- /i2/l2

nous prendrons

sin ( Al «vi -!- /lo «'., -T- A ) '-0 = " 7 — 7 '

Al 71 1 — A 2 '^2

et nous conserverons d'ailleurs la relation de récurrence (i5).

Nous satisferons ainsi encore à nos équations; mais nous n'aurons plus Cq ^ o. C,„ = o, ni par conséquent

^l — '-'l t -.1 — -/ ; 'a — 'il ■i ''l- — ^'/ )

pour

Nous ne satisferons donc plus aux conditions initiales que nous nous étions imposées au n° 109.

En revanche, on voit que les arguments des sin et des cos dans Cq. C/„, . . . seront les mêmes que dans les seconds membres de nos équations, tandis qu'avec la façon de procéder du n'' 109, nous introduisions à chaque intégration des arguments nouveaux, puisque nous introduisions des ternies en sin/i où Ji pourrait dépendre des wj*.

D'ailleurs la valeur moyenne de Cq, et par conséquent celle de Cl serait nulle.

Ou bien encore revenons-en aux équations canoniques (5) du n" 79; nous en tirerons par exenTpte^"

et l'on devra, pour avoir la valeur de /i'^"" approximation de oL,, remplacer les inconnues dans les seconds membres par leurs valeurs de (/? — lyème approximation. Les divers termes de la quantité sous le signe / prendront alors la forme

A/'" cos(v/-4- /t), et nous avons vu au n" 98 que l'intégrale indéfinie de cette

l56 CHAPITRE VI.

expression se compose de 77i + i termes de la forme

cos Bti> . (^jt-hh) (» = I, 2, . .., m). sin

A cette intégrale indéfinie, il convient d'ajouter une constante d'intégration. Jusqu'à présent nous avons choisi cette constante de telle façon qvie oL, s'annule avec t ; en d'autres termes nous avons toujours intégré entre les limites zéro et t. C'est ainsi que nous sommes arrivés aux développements (i i).

Si au contraire nous prenons toujours la constante égale à zéro, c'est la valeur moyenne àe oL,- qui sera nulle et nous retomberons sur les développements (21); nous prendrions en première approximation

Il est clair que pj et toj définis comme nous venons de le faire, ne représentent nullement les valeurs moyennes de Oj et de w/.

llo. J'observerai en passant que si l'on avait pris d'autres constantes d'intégration (que j'appellerai aussi pour un instant L^-, X], ij et Tj') liées aux valeurs initiales L", X", ç" et 7," par des relations de la forme (19), (19 bis) ou (20), tout ce que nous avons dit jusqu'ici subsisterait et nous serions encore retombés sur des développements de la forme (21) ou (22).

On aurait pu, par exemple, faire ce choix de façon que p^' et to' représentent les valeurs moyennes de p, et de w^-, mais cela n'a pas d'intérêt pour ce qui va suivre.

H6. Mais les développements (21) et (22) formés au n" 113 jouissent de propriétés particulières, bien dignes d'attirer l'attention. Nos équations (12) et (12 bis) ne changent pas quand on change «•/ en (V'/+ £a (et d'ailleurs nous savons que nos développements satisfont aux équations du mouvement, aussi bien si l'on y fait T = i, Wi^ nit -\- s, que si l'on y fait t = /, Wi= nit).

Quand on change Wi en (v^-h £, dans les développements (21) les développements ne devront pas cesser de satisfaire aux équations (12) et (12 bis)\ mais que deviendront les valeurs moyennes Lj, ç^', -/j^', \p. Les trois premières ne changeront pas, la dernière deviendra \\ -\- ti.

TRANSFORMATIONS DIVERSES DES DÉVELOPPEMENTS. l57

Nos développements ne changeront donc pas quand on changera à la fois Wi en tv/+ £/ et XJ en À,! — s^. Cela veut dire que wi et X^ n'y figureront que par la combinaison (r/4-X^', c'est-à-dire que

Supposons maintenant, comme au début du n" 112, que l'on fasse tourner tout le système d'un angle £ autour de l'axe des x^- Alors L,, L^-, p^- ne changeront pas, Xi et Xj se changeront en )^j-l- s, X'-he, loj en m*- — -t, i^etrjj en ^,cos£H-'/]jsin£ et — Çjsin£-|-7,,cos£. Les formules devront subsister puisqu'elles sont indépendantes du choix des axes. Nous devons donc conclure que, cjuand dans nos développements (22) nous changerons Xj en "kj -+- î. en même temps que co^' en to^' — £, les inconnues

se changeront en

L,-, >./+£, ^i cos£ 4-r;, siiiî, — ^jsine -f- 7]iCOS£.

Si nous nous reportons à ce qui a été dit aux n°^ 70 et 87, nous verrons que cela signifie que

dans les développements des L et des X et

dans ceux des ^ et des r,, (nous pouvons d'ailleurs toujours supposer que dans cette égalité le dernier membre est -+- 1 , car s'il était — i nous n'aurions qu'à changer le signe de l'argument du cosinus, ce qui ne change pas la valeur du cosinus).

On aurait pu obtenir les i^ésultats précédents d'une autre manière. Au n" 114 nous avons vu comment on peut former les développements (22) directement par approximations successives. On aurait pu alors démontrer nos résultats par récurrence en vérifiant que, s'ils sont vrais dans la (n — lyèmc approximation, ils le sont encore dans la z?"^"^".

117. J'ai dit plus haut que dans la pratique on n'a pas à consi-

l58 CHAPITRE VI.

dérerles termes où le petit diviseur

V = /il lli -^ /ij «2

correspond à des entiers /f, et /fo très grands; et c'est grâce à cette circonstance que j'ai pu dire au n" 101 qu'il n'était presque jamais nécessaire d'avoir égard à plusieurs petits diviseurs dillerents.

Je suis maintenant en mesure de justifier complètement cette assertion. Cela se verra mieux d'ailleurs sur le développement (22). Dans ce développement, en effet, on a

Si [ kt I et I /l'o 1 sont grands et si v étant un petit diviseur

I kl «1 -+- /Ci «2 I

est très petit; comme dans la pratique le rapport — ■ ne sera pas Aoisin de i , ^ ^" sera également très grand et il en sera de même

de 7 » .

Or le degré du terme envisagé est

Ce degré est donc très grand et c'est ce qui l'ait (pie le terme est négligeable.

Pievenons maintenant au développement (16). On devra retomber sur ce développement en partant du développement (22) et en y remplaçant L^-, X^- , ^l, r\l parleurs valeurs (19)- Or ces valeurs (19) sont développables suivant les puissances entières positives des p" (pii sont des quantités du second degré. Dans les développements (19) nous aurons donc des termes de degré zéro et des termes de degré positif.

Nous retomberons ainsi sur le développement (lO) dont chaque terme proviendra d'un des termes de (21); si l'on lait attention à la manière dont il a été obtenu, on voit qu'il sera de degré au moins aussi grand que le terme de (21) d'où il provient. Or le

TRANSFOnMATlONS DIVERSES DES DEVELOPPEMENTS. lôg

terme général de (i<))

;ji«G; cos( V Ait' -l- V /c'Xi-h V pcoi-J- /(c

provient d'un terme de (ai) en ^AdP*. 11 est donc au moins de degré ^ /*" ? bien qu'on n'ait plus ici

118. Si l'on change le triangle ABC en un autre triangle symétrique du premier par rapport au plan des ^j^o? on ne cessera pas de satisfaire aux équations du mouvement, c'est là une conséquence de la symétrie de la fonction F démontrée au n° 88.

Or cela revient à changer les variables obliques ^^^ 'f^n-i v'o '^n ^^^ — Ço, — 712, — i'o — v,4, ou bien encore ojo et w, en 0^2+" et a)/, + 7T. Si donc on change

iO viO ÏO -r'"

tO . y,0 £0 .-,0

OU ce qui revient au même w" et w" en w^î-l-- et w^H-tt, les variables obliques Ço? '^2: Ço ''ii changeront de signe et les autres ne changeront pas.

Si donc les développements des éléments ou des coordonnées sont mis sous la forme (11), le monôme D]1q sera de degré pair en ioj 'I25 ^4 5 '^4 dans les développements des L, des \, des ^,, 'i\i, ^3, Yjs, de x'^, Xo, x!^, .Tg ; il sera de degré impair dans ceux de Ç25 'I27 ^4, r,.4, J73, x'^. Si l'on met les développements sous la forme (16), on verrait de même que/?o + /?4 serait pair dans le premier cas et impair dans le second. Cela serait vrai d'ailleurs que l'on ait appliqué les procédés du n" 109 ou ceux du n'* 113.

119. Homogénéité. — En raisonnant comme aux n°^ 73 et 89, on verrait que

h,, pi sont homogènes de degré i, > «

Oc'n » » «,

X,-, tOi » » o

l6o CHAPITRE VI. — TRANSFOBMATIONS DIVERSES DES DÉVELOPPEMENTS.

par rapport aux L" et aux p*', ou bien encore par rapport aux L^, aux (S^9)2 et aux (r^])-.

120. Résumé. — Dans ce Chapitre, nous avons transformé nos développements, de telle façon que nos inconnues se présentent sous la forme de fonctions de trois variables t, w, et w.,- Ces fonctions sont développables suivant les puissances de t et suivant les cosinus et les sinus des multiples des w.

Elles satisfont aux équations du mouvement quand on y fait

'z = t-\-c, ivi = nit-hzi, a'.y= riit -\- -i,

quelles que soient les valeurs des constantes arbitraires c, s, et So- Outre les trois variables t et w, nos fonctions dépendent de douze constantes d'iiatégration et la forme du développement dépend des constantes que l'on choisit. Si l'on adopte les valeurs initiales

^l ) '^l ) -si î 'Il

des inconnues L/, X-, i,, -fn pour t = (v, = iVo, les développements prennent la forme (i i). Si l'on adopte les valeurs initiales

^/î ^^iJ P/, ^i

des inconnues L,-, A/, p,-, w/, ils prennent la forme (i6). Ce sont là les développements auxquels on est conduit par l'application du procédé du n° 109.

Mais on peut faire un autre choix. Si, comme au n° 113, on peut choisir non plus les valeurs initiales des inconnues, mais leurs valeurs moyennes, on est ainsi conduit aux développements (22) qui jouissent de propriétés remarquable^.

LE PROBLÈME RESTREI^^T.

121. Le problème restreint. — Au n° 3o, nous avons envisagé un problème particulier. Nous avons supposé que les trois corps soient le Soleil, une grosse planète et une petite planète, et que la masse de cette dernière soit assez petite pour que l'on puisse négliger les perturbations qu'elle produit dans le mouvement de la grosse planète. Dans ces conditions, cette grosse planète décrit une ellipse képlerienne; nous avons supposé de plus que l'excentricité de cette ellipse est nulle de telle façon que l'orbite de la grosse planète soit circulaire, et que la petite planète soit à l'origine du temps dans le plan de cette orbite et que sa vitesse initiale soit également dans le plan de cette orbite, lien résulte évidemment que la petite planète restera toujours dans le plan de cette orbite.

Nous pouvons alors appliquer la transformation du n° 30 de deux manières différentes :

1° Nous pouvons, comme au n" 32, supposer m; = o^ ce qui, comme nous l'avons vu, revient à supposer que la grosse planète est rapportée au Soleil, et la planète au centre de gravité de la grosse planète et du Soleil.

2" Nous pouvons, comme au n'' 33, supposer m, = o, ce qui revient à rapporter les deux planètes au Soleil.

Dans le premier cas, on aura

F =<t>o-i- «ii*i,

*o= Ti —

Ti-

nii m^