BG
\6l CHAPITRE VII.
Dans le second cas, on aura
F = 'Pi) -h "^1*1, où
*o=To-
BD
m 1 ni^ / I ( \ / I
T, et To consei'vanl la même signification.
Dans un cas comme dans Jautre, on trouve que le mouvement de la grosse planète est conforme aux lois de Kepler; et que celui de la petite planète se fait conformément aux équations canoniques (i3) ou (i3 bis) du Chapitre II qui s'écrivent
d.r', d<Py dy'i r/*, , - c.
dt dyi dt dxi
dans le premier cas, et
dx'i <3?<ï>i dy'i d<i>i
dans le second cas.
Dans le premier cas on a, à des infiniment petits près d'ordre supérieur,
et Ion pose
Dans le second cas, on a
m \ = m '., = /» j = «? 1 et l'on pose
y,- = m'i fi -— "h y"i ( / = I , -2 , 3 ) .
On arrive ainsi aux équations {\.\) du Chapitre II qui s'écrivent
dx)^ d^ d^jy d^
^ ' r// ^/r';' df' dx'i'
cL où l'on doit faire iz=. \. 5, 6 dans le premier cas, et /== i , 2, 3 dans le second cas.
On remarquei'a que *!', dépend non seulement des inconnues x' ou y' (ou x" et jk')^ mais encore du temps, puisqu'il dépend des
LE PROBLÈME RESTREINT. l63
coordonnées de la grosse planète qui sont des fonctions connues du temps.
122. Cela posé, faisons comme au n" 78 et exprimons les x' et Icsjk' en fonctions des éléments canoniques
p/, co,: (i = I, 2, 3, 4).
Comme
2, ^' dy' — \ \ clL ^ \ w dp
est une dift'érentielle exacte, ce changement de variables sera canonique.
Nous retrouverons ainsi les équations (4) du n" 78. Adoptons, pour fixer les idées, l'hypothèse du n** 33, de sorte que m, soit très petit et que
Le mouvement delà grosse planète étant képlerien, les éléments canoniques de cette grosse planète L^, pa, p',, W;{, M:,, Xo demeureront constants à l'exception du dernier Xo qui variera proportionnellement au temps.
Quant aux éléments de la petite planète L,, p,, po, w,, too, }.,, ils satisferont également aux équations (4) du n° 78; seulement, comme Oo est indépendant de ces éléments, ces équations se réduiront à
dLi d<î>, dli dft>i
dt ""'dl^' dt "^\iU
d'Ji d^\ diài d^i
dl ^ diMi dt ' dpi ^ ' ''
Ces équations (4) auraient d'ailleurs pu être obtenues en transformant les équations (2). En effet, l'expression
N x'i dy'i — X 1 (iLi — \ 0) ^p .
qui est l'expression (i) du n° 78 est une différentielle exacte. Nous avons donc fait un changement de variables canoniques et, d'après le n" 12, ce changement n'altère pas la forme canonique de nos équations, bien que <î>, dépende explicitement du temps.
l64 CHAPITRE VII.
Les équations (4) sont sous une forme qui pourrait quelquefois sembler gênante puisque les deux membres sont de l'ordre m, et par conséquent infiniment petits. Nous poserons donc
Li= miL[, pi=mip'i (t = i,2).
De cette façon les L' et les p' seront finis et nos équations deviendront
/ dL'i d^\ d\i d^i
\'dr^~drx' 'dl ''^ dL{'
<3?p^- d<^i doii d^i
dt diùi dt dp'i
D'ailleurs les équations (5) auraient pu être déduites des équations (3). Car
^ X dy — Xi (iLi — ^.^'^ ^?
est une différentielle exacte, de sorte que l'on peut prendre pour variables L', , A), p'^-, w^- sans que la forme canonique des équations soit altérée.
On voit d'ailleurs que si l'on considère une planète fictive ayant même trajectoire que la planète A" du n° 74 mais ayant pour masse, non plus n^'^ (c'est-à-dire /?^l puisque tni^=rn\ à des infiniment petits près d'ordre supérieur), mais i, les coordonnées de cette planète sont x\^ x'.,, x'^, les composantes de sa quantité de mouvement y",, jkIi JK3 et ses éléments canoniques L, , Xi, p'^-, co^-.
