Si nous posons

j- — y/^tp cosco, K=v/'2psina),

il viendra

X dy =20 cos-to diù -4- rfp cosco sin w, donc

X dy — 0 dto = 0 cos 2 to dto -\ ^ sin 2 co = <f - sin 2 co

est une différentielle exacte.

Si donc nous posons

Xi = ^/i.r'i cosj'i , yi = \/2x\ s\x\y\ ,

et pour i >> i

Xf = Xf , yi = jf ;

la différence ^^x' dy' — ^^x dy sera une différentielle exacte et la forme canonique des équations ne sera pas altérée.

7. Équations de Hamilton. — Les équations de la Dynamique peuvent se mettre facilement sous la forme canonique.

Nous considérerons un système matériel formé de — points

matériels ; ces points seront soumis à des forces ne dépendant que de leurs coordonnées, et ces forces devront admettre une fonction des forces confoi'mément au principe de la conservation de l'énergie.

Je désignerai les coordonnées du premier point matériel par

(Il \ ième 1 /

et dernier par x«2, ^«i, JCn-

Je désignerai indifféremment la masse du premier par nii, m-y ou /?^3; celle du second par /«.,, ni^ ou oiq] .. .; celle du dernier par m,i-2-, ff^n-^i ou m,i.

Dans ces conditions, la demi-force vive ou énergie cinétique T aura pour expression

^-.l-{wï

Je désignerai par U l'éneraie potentielle q,ui sera une fonction (les coordonnées, de sorte que l'énergie totale sera

et que les équations du mouvement s'écriront

d^Xi d\S

Nous poserons

dxi

de sorte que y\i y-j-, J'i représenteront les trois composantes de la quantité du mouvement du premier point matériel. On aura alors

1 A^ mi et

dxj yi ^ dT dt nii dyt

D'autre part, l'équation (7) pourra s'écrire

dy^ __d^ dt dxi

Comme T ne dépend pas des x^ ni U des j', on aura

d^ d^ dY dT

dxi " dxi dyi ~ dyt

et par conséquent

dxi

dyt

rfF

~~ dyt'

dt ~

dxi

ce sont bien nos équations canoniques.

8. Adoptons maintenant un système de coordonnées curvilignes quelconques et, au lieu de définir la position du système par

les n coordonnées rectangulaires X) , x^i ..., Xni de ses ^ points matériels, définissons-la par n fonctions quelconques

^1, qi, ■■', qn

de ces n coordonnées rectangulaires.

Réciproquement, les n coordonnées rectangulaires x seront des fonctions des n coordonnées nouvelles q. Nous représenterons

pour abréger les dérivées -j^ et -~ par x'^ et q',^. Alors U, qui ne

dépend que des x^ ne dépendra que des q.

Soit

En dilïerentiant, on trouve

ou bien encoi^e

Nous voyons que les x' sont des fonctions linéaires des q' ^ dépendant d'ailleurs des q^ puisque les coefficients -—■ dépendent des q et pas des q' .

Il en résulte que T= -^/«y- sera un poljnonie homogène

du second degré par rapport aux q' ^ dont les coefficients dépendent d'ailleurs des q. Si donc nous posons

dqt

nous aurons, en vertu du théorème des fonctions homogènes,

Remarquons d'ailleurs que, si Ton exprime T en fonction des.27', sous la forme T= -\ m^?'-, on aura de même

dx

Gela posé, donnons aux variables q^ des accroissements dq' ^ les variables q étant regardées comme constantes ; alors les variables x ne subiront aucun accroissement, puisqu'elles ne dépendent que des ^, mais les x' subiront des accroissements dx' et la diff'éren-

liation de l'équation (9) nous donnera

dqi On aura d'ailleurs

ou

(II) ^pdq'^^ydx'.

La comparaison des équations (8) et (10) nous montre qu'il y a entre les dx' et les dq' les mêmes relations linéaires qu'entre les dx et les dq. Dans l'identité (1 1) nous pouvons donc remplacer les dx' et les dq' par les dx et les dq^ ce qui donne

'^pdq=^ydx.

A.insi

^^q dp —^x dy = dy^pq —^yx^

est une différentielle exacte. Si donc nous prenons pour variables nouvelles les q et les/>, la forme canonique des équations ne sera pas altérée et nous aurons

dqi dY dpi dF

dt dpi' dt dqt

Ce sont les équations de Hamilton pour un système quelconque de coordonnées.

9. Systèmes à liaisons. — Il est aisé d'étendre ce résultat à un

système à liaisons. Supposons que nos -^ points matériels soient

soumis à a liaisons, de façon que leurs n coordonnées rectangulaires puissent être exprimées en fonction de n — a = ,8 variables indépendantes

(i3) g-i, qt. ..., q<^.

Soient

Xi= ^iiqi-, qi, ..., <7[3)

les expressions des n coordonnées rectangulaires en fonction de ces p variables.

Introduisons a variables auxiliaires

(i4) ç-p+i, 7P+2, •••, qri

et posons

les <hi étant des fonctions choisies de façon à se réduire à ^t pour

mais d'ailleurs quelconques.

Si nous adoptons comme variatles indépendantes

qi, qi-, •••, qni

alors les équations (i5) représenteront précisément nos équations de liaison.

On voit qu'un système à liaisons se comporte comme un système libre à la condition qu'on lui applique certaines forces supplémentaires, dites /o/'ces de liaison, et dont il est aisé de comprendre la signification. Supposons, par exemple, que deux points du système soient assujettis à rester à une distance constante a; tout se passera comme si ces deux points s'attiraient quand leur distance est supérieure à « et se repoussaient quand elle est inférieure ; cette attraction (ou cette répulsion) étant extrêmement grande pour une distance égale àa-|-£(ou k a — s) à moins que e ne soit extrêmement petit. Toutes les forces de liaison sont susceptibles d'une interprétation analogue.

Soit alors W l'énergie potentielle due à ces forces de liaison, de telle façon que le travail de ces forces soit représenté par — t/W. Nous pourrons alors traiter notre système comme s'il était libre, mais à la condition d'ajouter cette énergie potentielle W à celle des forces ordinaires que nous avons appelée U; c'est-à-dire de changer F en F-1- W. Les équations (12) s'écriront alors

dt dpi dt dqt

Mais le travail des forces de liaison est nul pour tout déplacement compatible avec les liaisons; la fonction W ne varie donc

pas quand les variables (i 3) varient, les variables (i4) restant constamment nulles. On a donc

rfW ,. ...

D'autre part, W dépend seulement des q et pas des />, de sorte

Nous pouvons donc écrire, en donnant seulement à l'indice i les valeurs i , 2, . , ., ,3,

dqj, d¥^ dpi dF

dt dpi dt dqi

de sorte que nous retrouvons les équations de Hamilton.

10. Méthode de Jacobi. — Reprenons les équations canoniques (i). A ces équations se rattache intimement une équation aux dérivées partielles, imaginée par Jacobi, et que nous allons construire.

Soit S la fonction inconnue; dans la fonction Yi^Xi^yî) remplaçons yt par la dérivée partielle -, — et égalons cette fonction à une constante. Nous obtiendrons ainsi l'équation

(.6) F(x„^) = const.

C'est l'équation de Jacobi, et nous allons voir que l'intégration des équations (i) se ramène à celle de l'équation de Jacobi.

Supposons, en effet^ qu'on ait trouvé une solution particulière de l'équation (16) dépendant de n constantes arbitraires

La constante du second membre de (16) sera une fonction de ces n constantes, de sorte qu'on aura

La fonction S dépend à la fois des variables x et des constantes d'intégration ji; si nous faisons varier à la fois ces variables et ces

constantes, nous aurons

Posons

<^S dS

Entre les 4 '^ quantités x,y, [i, y, nous avons les a/i relations (i 8). Donc 2 n de ces quantités peuvent être regardées comme fonctions des 2 n autres; par exemple, les ^ et les y comme fonctions des .X et des y. Cela nous permet de faire un changement de variables et de prendre comme variables nouvelles les [B et les y au lieu des 37 et des jj^. On a

donc

est une différentielle exacte.

Le changement de variables est donc canonique, et les équations (i) deviennent

dvi dV ,

dt " d^i'

d^i d¥ dt d'^i

ou, à cause de l'identité (17),

^'9) dt-d^t'

d^i dt

Ces équations (19) s'intègrent immédiatement, on trouve d'abord

Pi == const.

Les ^ étant des constantes, la fonction cp((^,, (5o, . . ., [3„) sera

également une constante et il en sera de même de ses dérivées -j^ •

L'intégration de la première équation (19) nous donnera donc

d'il

les T^i étant n nouvelles constantes d'intégration.

. On a donc ainsi intégré complètement les équations (19) et par conséquent les équations (i).