Nous avons, d'après le n

/»i4>i — T,-^- Ui-i- U3.

Au n° 82, nous avons trouvé

Ti-|-Ui= — — Tir ' Mi= /n'. niT /nh

Nous animons donc

lAi;

puisque m , = /« ,

LE PROBLÈME RESTREINT. l65

Quant à

nous avons vu au n" 40 la forme particulière qu'elle prend dans le cas qui nous occupe; mais, comme je l'ai dit au n'' 41, les mêmes simplifications ne se produiraient pas si l'on adoptait l'hypothèse du n" 32. Nous ne nous en servirons d'ailleurs pas et nous nous bornerons à rappeler quelle est, d'après le Chapitre IV, la forme de la fonction perturbatrice [J.F, et par conséquent celle de <ï>,. Nous aurons

où A dépend seulement de L'^ et Lo.

Dans la formule (lo) du n° 83, j'ai remplacé p, et po par «?,p, et //«ipo, j'ai divisé ensuite par ;??,, c'est ce qui explique la présence du facteur m^'^'^^-''^; de plus j'ai fait /i = o en vertu du théorème du n° 81.

Je rappelle de plus que

en vertu du n" 87 et que

Nous supposons de plus que l'orbite de la grosse planète est

circulaire, ce qui s'écrit

et que les inclinaisons sont nulles, ce qui s'écrit

Tous les termes du second membre de (6) sont donc nuls, sauf ceux pour lesquels on a

Çi = Çs = q!,= o,

et par conséquent

P2=P3=Pi= o.

Donc, en posant

l66 CHAPITRE VU.

il reste

(7) 'l'i^ ^T^V + I^ X Bp;'7'cos(/riXi + A-2X2+/'iWi),

B ne dépend que de L', et de Lo ; je puis même dire qu'il ne dépend que de L', , puisque Lo est une constante absolue qui est une des données de la question.

On a d'ailleurs

(8) kl+k, = pi.

Quant à Xo nous pouvons le regarder comme égal à /lo t, en prenant pour origine du temps l'instant où la longitude de la grosse planète est nulle; d'autre part n^ est une constante absolue qui est une des données de la question.

Posons alors

F' :=F; + [aFi = <ï>,+ «2(p;-Li),

M' F\ = y Bpj'7icos(/tiX, + A-2X2 + /?itoi),

A [ = Al Àoj CO| = 0l)i — }— A2.

Les équations du mouvement deviendront

Les équations ont donc encore la forme canonique; seulement cette fois, comme, en vertu de la relation (8),

F'i=2Bp';/'cos(/nÀi-f-/^iwi),

notre /onction F' ne dépend que des quatre inconnues L', , p'^, )/, , oj', et /te dépend plus explicitement du temps.

124. Intégrale de Jacobi. — Au n''34, nous avons vu que, dans

dF' ~ dl\ '

d\\ dt

dF' dh\

dp\

dF'

dit} î

dF'

~dt

~ di,y\ '

Jes cas des n°^ 32 et 33, les intégrales des forces vives et des aires deviennent illusoires, et cela parce que la fonction <ï>, dépend explicitement du temps.

Ici notre fonction F' ne dépendant pas explicitement du temps, nos équations (9) admettent l'intégrale

F'= const., qui est connue sous le nom à' intégrale de Jacobi.

125. Remarque. — Il importe de faire une observation au sujet de F[,. Nous avons

dp[ -

Il n'y a aucune relation linéaire à coefficients constants ni a fortiori à. coefficients entiers, entre j^ et /^o, puisque la première

de ces quantité dépend de L', et que la seconde est une constante. " 11 n'y en a donc pas non plus entre les deux dérivées partielles de F;.

On verra bientôt l'importance de cette remarque.

126. Généralisation. — Soit plus généralement F une fonction de 2/1 variables

L], Lj, . . . , L/j,

Al, X-2 , . . . , À ,1,

et envisageons les équations canoniques

, dLi dF d\i dF

^^'°> ~dF=-dX,' dt=dL, (' = r, .,...,;.).

Je suppose

où [j. est une constante très petite. Je suppose que F„ dépend seulement des L/ et de telle façon qii il n'y ait aucune relation

linéaire à coefficients entiers entre les dérivées partielles -j—-

l68 CHAPITRE VII.

Quant à F|, c'est une fonction périodique des )>/, développable suivant les cosinus et les sinus des multiples des X/, les coefficients du développement dépendant d'ailleurs des L.

Les équations (9) rentrent comme un cas particulier dans les équations (10) en faisant jouer à F^ et F', le rôle de Fo et F,, à L', et p'^ celui de L| et Lo ; à )/, et to, celui de )., et Xo.

En effet Fj, ne dépend que de L', et, p', et en vertu du n° 122, il n'j a entre ses dérivées partielles aucune relation linéaire à coefficients entiers.

D'autre part F'^ est une fonction périodique de A', et to,.

Observons maintenant que toutes les conclusions des Chapitres V et VI s'appliquent aux équations (10). Dans ces Chapitres nous ne nous sommes occupés que du problème des trois corps, mais les résultats peuvent être immédiatement étendus, d'abord au cas d'un nombre quelconque de corps, et ensuite à des problèmes dynamiques beaucoup plus généraux.

Quelles sont en effet les seules hypothèses qui aient joué un rôle dans nos démonstrations?

1° C'est d'abord que Fq ne dépend que des L.

Les équations (10) satisfont à cette hypothèse.

Nous ne nous sommes pas servis de la forme particulière de la fonction Fq et par exemple j'ai toujours désigné les dérivées partielles du second ordre de F^ par la notation Cik, sans faire intervenir les simplifications qui résultent de ce fait que C,2=o {cf. n" 106).

2" C'est ensuite que le rapport — est incommensurable. Dans le

cas où il y a plus de deux variables L, cette condition doit être remplacée par la suivante, qu'il n'y a entre les ni (c'est-à-dire entre les valeurs des dérivées partielles de Fo pour L/= T^" aucune relation linéaire à coefficients entiers.

Or nous avons supposé plus haut qu'il n'y avait, dans le cas des équations (lo), aucune relation linéaire à coefficients entiers entre les dérivées partielles de Fq qui soit identiquement satisfaite. Nous pouvons donc toujours supposer qu'on ait choisi les L" de telle sorte qu'il n'y ait entre les ni aucune relation de cette forme

3" C'est ensuite que Fi est périodique par rapport aux ).j.

Cette condition est encore remplie pour les équations (10),

LE PnOBt.ÈME RESTREINT. 169

4" C'est enfin que F, est développable suivant les puissances des ^ et des r,.

Dans le cas des équations (lo), la fonction F, ne dépend d'aucune variable analogue aux ^ et aux r^. La condition peut donc être considérée comme remplie ; seulement le développement de F, suivant les puissances des ^ et des -^ se réduit à un seul terme, le terme de degré zéro.

Toutes nos conditions étant remplies, tous les résultats des Chapitres V et YI s'appliquent aux équations (lo).

127. Nous pouvons donc satisfaire aux équations (lo) en posant (11) L,- = L? + oL/, X,- = Jii ^ + X ° + oX,-,

où L" et Vl sont des constantes qui représentent les valeurs initiales de Lj et \i\ où m est également une constante égale à la valeur

de -— pour L/=i L" ; où enfin oL/ et oX^ sont développables sous

la forme

V [JL=<A^'« cos(v^4- h).

A et h sont des constantes dépendant seulement des L" et des X" ; et l'on a

les ki étant des entiers.

J'ajoute que les 3L et les oX contiennent jjl en facteur et d'autre part s'annulent pour ^ = o.

C'est la formule (6) du n" 102. Seulement le monôme OlUo a disparu, parce que nous n'avons pas de variables analogues aux ç et aux Ti.

Mais il j a plus : nous pouvons former des développements dépendant de /i -|- i variables

T, IPi, (Vo, ..., «•„,

en remplaçant dans le développement de oL; et de ù\i la lettre t par 'z

quand elle est en dehors du signe cos et v^ par ^Ai(vv sous le

signe cos. D'autre part dans le premier terme du second membre de la seconde équation (i i), nous remplacerons Tiit par (V/.

rjO CHAPlTRli: Ml.

Si donc nous avons

■ = 'V ;j.a A t'" cos (^it ~- h),

dKi = V jj.cc A' t"' cos (■ ^)t + h'), nos nouveaux développements s'écriront

L/ = L/ + V i^a A T'« cos (S ki Wi +h\

I A,- = n>/ -^ X'^ -+- V iJ.« A' T'^' cos ^ V A-,- H^/ + A' j . Si, dans ces nouveaux développements, nous faisons

nous retombons sur les développements (ii) et par conséquent nous satisfaisons aux écjuations (lo).

Mais le Chapitre VI nous a appris que si, dans ces développements (12), nous faisons

Z = t-^- C, Wl= lli t -I-, Zi ,

nous satisferons encore aux équations (10) quelles que soient les valeurs attribuées aux n -+- 1 constantes arbitraires c et s/.

J28. Toutes les autres conclusions du Chapitre V subsistent; par exemple nous n'aurons pas de terme de rang négatif; nous n'avons pas de terme séculaire mixte de rang nul; nous n'avons pas de terme de rang nul dans le développement des L/.

En deuxième approximation, c'est-à-dire si nous négligeons [j.-, il n'y aura pas de terme séculaire dans les L/; c'est là la généralisation du théorème sur l'invariabilité des grands axes. Nous remarquerons qu'ici il s'applique à n variables sur 2/1 tandis que dans le problème des trois corps il ne s'appliquait C[u'à 2 variables sur I 2.

Cela tient à ce que, dans les équations (10), la fonction Fq dépend des n variables L (et qu'elles y figurent pour ainsi dire indépendamment puisqu'il n'y a pas de relation linéaire entre les dérivées de Fq). Au contraire, dans le problème des trois corps, cette fonction Fq ne dépeiidait que de 2 varialjles sur 13.

LE PnOBLÈME RESTREINT. I71

129. Nous allons maintenant transformer notre méthode; noua allons nous efforcer de la modifier de façon à nous débarrasser des termes séculaires.

Pour cela nous allons nous servir du théorème du n° 16. La formule (24) de ce numéro s'écrit

2^x dy = do. ^ 2. ^1^ '^^^i^ ~

dont je rappelle la signification.

La fonction £1 est définie par l'équation

dt -^^ Za^ dt -^ ^

Les a/f sont les constantes d'intégration et les Aa sont des fonctions de ces constantes.

La formule en question s'appliquait aux équations (i) du Chapitre I, mais on peut passer de ces écjuations à nos équations (to) en changeant

^, JK, F en

La formule devient alors ( i3 ) V L (^. =r f/Q -4- "V A/, f/a/, -f- F dt,

avec

Nous allons substituer à la place des L et des \ leurs développements (12); il est clair qu'après cette substitution

sera encore développable sous la même forme; c'est-à-dire suivant les puissances de 1 et suivant les sinus et les cosinus des multiples des w.

Nous déterminerons ensuite tl par l'équation

, ^, do. do, v' d-- V

^ dt dz Xmi dwi ^,à

do. do, v^ ^-- V T -^ F

Cette équation est de la même forme que réqualion (i3) du Chapitre précédent; nous la traiterons de la même manière, et elle nous donnera pour Q une valeur développable suivant les puissances de T et suivant les sinus et les cosinus des multiples des w. Cette équation (i 5) ne définit pas entièrement Q, mais nous pouvons dans la formule (i3) prendre pour 0 l'une quelconque des solutions de l'équation (lo). Nous choisirons celle qui est développable suivant les puissances de t et les lignes trigonométriques des w.

Nous savons que nous satisfaisons aux équations (lo) en faisant

■z = t -i- c, iVi = riit -\- Zi.

Nous aurions ainsi 3/?, -|- i constantes d'intégration, à savoir les L", les \^-^ les £/ et c. Ces constantes ne sont pas distinctes et il nous suffit d'en conserver 2/z; nous pouvons donc annuler n + i d'entre elles. Nous ferons

Dans ces conditions

L, X, il

seront des fonctions de t, des lo/ et des L^^. Ainsi que nous l'avons vu, la fonction ù, de même que les L, et les A/ — (V/, est développable suivant les puissances de t et les lignes trigonométriques des w.

L'expression

V L d\ — du

sera donc de la forme

H ^- -- 2 W/ d^vi - y] C, ^L° ,

où H, W/ et Ci seront des fonctions des L^^, des (v et de t développables suivant les puissances de t et les sinus et les cosinus des multiples des w.

Si nous faisons

d'où

d- = dt,

dwi = iii dt -+- dzi-k~ t drii, L et A devront satisfaire aux équations (lo) et par conséquent à la

LE PROBLEME RESTREINT. lyo

relation (i3). Or on trouve

y L ^. — da = (h +2 ^'"'■) '^^ -^2 ^^' ^^^'-^2 ^^ '^^^'"'

où l'on a

puisque, les «a ne dépendant que des LJ, on a

^ dh^ '

Nos constantes d'intégration, qui jouent le rôle des a^ de la formule (i3), sont ici les L^^ et les £/.

Donc, d'après le théorème du n" 16, les W, et les C", c'est-à-dire les coefficients des dei et des dL^ qui jouent le rôle des da/t, seront des constantes indépendantes du temps et dépendront seulement des constantes d'intégration. De plus

sera aussi indépendant du temps en vertu de l'équation des forces vives.

Or les W/ sont développables suivant les puissances de ij. et de t et suivant les cosinus et sinus des multiples des w; ils sont donc de la forme de la fonction

à laquelle s'appliquait le dernier lemme du n° 107. Or pour

notre fonction

doit se réduire à une constante /q indépendante du temps, et ne dépendre que des constantes d'intégration £/ et L" ; ou mieux encore elle ne dépendra que des L^^, puisque nous avons fait iVfi= J^kt-, ce qui veut dire que nous avons supposé £/(= o. On aura donc

/„ ne dépendant que des L°.

174 CHAPITRE Vil.

Donc, en vertu du lemme du n° 107, nous devons avoir pour toutes les valeurs de t et des iv

W/— /o == /( [x, -, uv/) — /o = o.

C'est-à-dire que W/ ne dépend que des L".

Envisageons maintenant les coefficients C/ et les expressions