C-^Hw

quand on y fera

cette expression se réduira ;

c'est-à-dire à C" et ne dépendra, comme nous l'avons vu, que des L" ; en appliquant le même raisonnement, on verrait que l'on a pour toutes les valeurs de t et des «v

et que C|' ne dépend que des L"..

Il en est de même de F qui est également indépendant du temps. Reprenons donc l'identité

( i6 ) ^ L f/>. — do = II d- -+- V AY . diVi -1- y C/ clL'^ ,

et faisons-y

pour ': = (ï'i = o on aura '

'u — ■ '^t ■) et par conséquent

puisque nous avons supposé les Vj nuls; Q se réduira à Ûy et C/ se changera en C|- (quantité qui, nous l'avons vu, ne dépend que des L"); on aura d'ailleurs

d-z = dw = d\ = o.

LK PBOBLIi.ME RESTREINT. I7;)

Notre identité deviendra donc

{16 bh) -dLlo = ^Gl di^l

En retranchant (i6) et (i6 bis) il vient

2 L dl - 2 W, f/<p, = Ed--^diQ- Oo ) -h T V VY/, ^ di: ,

et si l'on suppose -: = o, d'où d-z = o,

(■ r 7 ) y L dl — V W f^.v = d(9. - il, ).

Reprenons les développements (12) et faisons-y comme plus Ira ut >,|' = o, et de plus faisons- j t = o.

Ils pourront alors être regardés comme définissant les iii cjuantités L/ et Xi en fonction des 2/1 variables L" et tr/.

D'autre part les /i quantités W/ sont, comme nous venons de le voir, des fonctions des n quantités L^^, et inversement; remplaçons les L" par leurs valeurs en fonction des W^-. Les développements (12) où. l'on fait À" = 7 = 0 peuvent donc être regardés comme définissant les L et les A en fonction des W et des (v.

Nous pouvons donc prendre les ^A' et les iv pour nouvelles variables; la relation (17) nous apprend que le changement de variables est canonique. Il n'altère donc pas la forme canonique des écjuations (10) qui deviennent

(Jr nous venons de voir cpie F ne dépend c[ue des LJ*. Si nous remplaçons les L" par leurs valeurs en fonction des V^ i, F ne dépendra c[ue des W/ et sera indépendant des «r.

dF On aura donc -7— = o, et par conséquent

div ^ '■ '

W =: const.

11 en résulte que F et ses dérivées -j^ qui ne dépendent que des W seront aussi des constantes.

Soit alors

il viendra

dwi ,

Wi = n'i t -\- Wi^

Wi étant une nouvelle constante d'intégration.

Les L^, qui ne dépendent que des W, seront également des constantes.

Nous satisferons donc à nos équations en faisant dans les développements (12)

\\ = 0, T = o, L? = const. Wi~ n'it -i- wi.

Les n- sont des constantes qui dépendent des L", mais qui sont différentes des /?,-.

Le point intéressant c'est que, comme nous avons fait t = o, tous les termes séculaires ont disparu.

L'analyse qui précède démontre les théorèmes que nous avons établis par une autre voie dans les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. Il, n"' 125 et 138, et aussi dans le Bulletin astronomique, t. XIV, p. 242, problème B.