Le lemme du n° 107 est applicable à la fonction

à une condition. Cette fonction peut contenir un nombre infini de termes, mais le coefficient de ijl=' n'en doit contenir qu'un nombre fini.

Cette condition est-elle remplie dans le cas qui nous occupe?

Elle l'est si l'on ne prend dans F qu'un nombre fini de termes. Nous avons en efïet les équations

analogues aux équations (9) du Chapitre V, n° 106; les lettres <I> et G/A ont la même signification que dans ce n" 106; il ne faut donc pas confondre les C/yj avec les C/ du n° 129 avec lesquels ils n'ont aucun rapport.

LE PROBLEAIE RESTREINT. 177

Je suppose que l'on ait démontré qu'en /î'"™" approximation, c'est-à-dire en négligeant les termes en jj." et les termes d'ordre supérieur, nos oL/ et nos oki se réduisent à un nombre fini de termes ; je dis que cela sera encore vrai en (a -j ly^^c approximation.

Pour avoir les valeurs de (/i + i)'^""" approximation,, nous devons dans les seconds membres des équations (19) substituer à la place des oLi et des ôX^ leurs valeurs de /i'^™" approximation. Nous

savons que -rA peut se développer suivant les j)uissances des oL et

des S)v sous la forme

(20) '^BDTL',

DïL' étant un monôme entier par rapport aux oL et aux SX. Nous pouvons arrêter le développement aux termes de degré n exclusivement par rapport aux oL et oX. En effet, comme o\ et Kk contiennent y. en facteur, ces termes sont de l'ordre de jjl". Nous avons donc le droit de les supprimer.

Notre développement (20) se composera donc d'un nombre fini de termes; quant au coefficient B, c'est, à un facteur numérique près, l'une des dérivées partielles d'ordre supérieur de F,, où l'on a substitué aux inconnues leurs valeurs de première approximation, et, comme nous ne prenons dans F, qu'un nombre fini de termes, B n'en contiendra non plus qu'un nombre fini. On raisonnerait de

même pour

dFj d^ clFi d\ic clLi dhi

Les seconds membres des équations (19) ne contiennent donc cju'un nombre fini de termes; il en est donc de même des oL et des o\. C. Q. F. D.

On voit en même temps que les dérivées partielles de F satisfont à la même condition.

Donc

\.—-dt — ¥t

y satisfait également et il en est de même de

, ^ f/X do.

Wj= > L-T— -j —

^ ' diVi dw;

et de

d\ dû

Toutes ces quantités ne contiendront dans leur développement qu'an nombre fini de termes, si l'on néglige tous les termes qui contiennent jj." en facteur, et cela quelque grand que soit l'exposant entier n.

Cette circonstance nous permet d'appliquer le lemme du n" 107.

131. Les quantités W^- et n'^ peuvent être développées suivant les puissances de [x. Cela est évident pour

JmU dWi dWi

puisque L, ). et il sont développables suivant les puissances de [j..

En effet, il en est ainsi des L et des X, il en est ainsi de F et de -yr

c|ui sont des fonctions des L et des X, où l'on peut substituer à la place de ces quantités leurs développements suivant les puissances de \K\ il en est ainsi enfin de

dL

Il est aisé de voir quel est le premier terme du développement. Si nous supposons en effet [j. == o, on trouve

d'où

et, d'autre part.

d'où

et

dÙ.

dw;

Le premier terme du développement est donc L".

Nous avons dit que F est une constante qui ne dépend que des L°; que les L^^ étant fonctions des W,, et réciproquement, nous pouvons aussi regarder F comme une fonction des W^; nous aurons alors entre les dérivées partielles par rapport aux W et les dérivées partielles par rapport aux L^" la relation suivante :

ou, en se rappelant la définition de n'-^

2, dW^ d¥^ "'■"^ ~ dhf

Nous avons ainsi des équations linéaires qui nous donneront les constantes n'- en fonctions des L|- et de ijl. Comme F et W, et par

dF dWi j , , 11 . .

conséquent — j et — — sont developpables suivant les puissances ciij/^. dij/^-

de iji, comme d'autre part le déterminant de nos équations linéaires

se réduit à i pour u. == o (c'est-à-dire pour Wi = L^- ), les n'- seront

également developpables suivant les puissances de [j..

Il est aisé de trouver le premier terme du développement. En

effet, pour ij. = o, on a

dF

aL,;.

et nos équations linéaires se réduisent à

Le premier terme du développement de n'^ est donc /?/.

132. Comparaison des développements. — Reprenons nos développements (12), en y faisant comme plus haut )^/ = o :

L/ = L,''+ ^ [j.a A T'« cos ( \ kw -+- h Xy = (v,-u V [JL» A'-u'" cos ( N^ kw -i- h'

Nous avons vu que l'on obtient une solution particulière des équations (lo) en y faisant

X= t, Wl— flit,

l8o . CHAPITRE VII.

et que l'on en obtient une autre en j faisant

z = o, wi= n'it.

Ces deux solutions particulières doivent être identiques, car, dans l'une comme dans l'autre, les valeurs initiales des inconnues L/ et \i sont LJ et o pour / = o.

Si donc nous développons ces deux solutions suivant les puissances de UL, les deux développements devront être identiques.

Pour la première nous trouvons

L/= L^ -i- V !-«.=« A ^'«cos(vi + /i), X;= nit-\- > [x«A /'"cos(v« -f- A'),

Le développement est terminé, car les ni et par conséquent v ne dépendent pas de ij..

Pour la seconde nous trouvons

hi= L? -i-'V [JL^A cos(v'z + /i),

X, = 7li t + 2, V-^ ^ cos (v' t -\- A'), où

et en ne conservant que les termes où l'exposant m est nul. Mais le développement n'est pas terminé, car, les ii-^ et v' dépendent encore de [x.

Soient donc

m = llin- [in

v'= V -f- [JLV"' -+- ;jt.2v,(2) -I-. . .

les développements de n'- et de v' suivant les puissances de p.; il faut remplacer 7î'- et v' par ces développements et développer cos(v'^+/i) suivant les puissances de y.. On trouve ainsi; en développant d'abord suivant les puissances de v' — v,

cos(v't+ /() = 'V-^(^/ — v)'«iî'«cos/^vi-h/i-h ■^j-

LE PROBLEME RESTREINT. lOI

Ensuite (v' — v)'" peut se développer suivant les puissances de [j., de telle sorte que

les Hp étant des constantes dépendant des v'*^ et par consécpent des L". Il en résulte

cos(v'^-4- h) = ^ [a.?Hp«'« cos(v« + A+ ^^ j et par conséquent

L,- = L? 4- V [j.a+p AHp t'n cos ( v t -\- h -i- -^ ) »

Les deux développements (21) et (22) doivent être identiques.

Cherchons d'abord les termes séculaires purs. Ce sont ceux pour lesquels v = 0, /?^ >> o ; or v ne peut être nul que si

Al = A-2 == . . . = kn = o,

puisque nous supposons qu'il n'y a pas entre les ni de relation linéaire à coefficients entiers.

Mais alors on a aussi

et le développement de cos(v'fH-A) se réduira à un seul terme qui sera constant et qui ne contiendra pas t en facteur.

Ainsi dans les développements (21) ou (22) des L,, il n^y a pas de terme séculaire pur.

Dans les développements des )v/, les termes en cos(v'^ + h') ne peuvent non plus en donner. Tous les termes séculaires purs proviennent du développement de n'^t^ ce sont les termes

[JL» n'f t.

Donc dans les développements (21) ou (22) des Xi, il n'y a pas d'autre terme séculaire pur cjue des termes en t.

l82 , CHAPITRE VII.

Comparons maintenant dans les développements (21) et (22) l'ensemble des termes

(23) V [jiaAi!'«cos(viî-+- A)

et

«+P kîlRt'"- cos (^it-\- h-^ '-^ ] ,

(24) ^iio^+^AH^

qui correspondent à une même valeur du coefficient v. Ces deux ensembles de termes doivent être identiques.

J'écrirai alors l'ensemble des termes (28) sous la forme

(23 bis) ^ B,n t"' cosv t -{- V C,„ t"i sinv t, >

ou

B„i = \ [JL* A cos A, C,„ = — N^ [ji.=* A sinA,

ces dernières sommations étant étendues à tous ceux des termes (28) qui correspondent à des valeurs données du coefficient v et de l'entier m .

De même j'écrirai l'ensemble des termes (24) sous la forme

(24 bis) "V D„jZ'«cosv? + V E,nt>'i sinwt,

OÙ

D„,= 2;j,a+pAHj3cos/A+^V

ces dernières sommations étant étendues à tous ceux des termes (24) qui correspondent à des valeurs données du coefficient v et de l'entier ni.

Les deux développements devant être identiques, on aura

m — ^/if

Or les développements (24) ou (24 bis) proviennent du développement des termes en cosv'i et sinv'^ suivant les puissances de v' — V et par conséquent de [j..

Ces termes sont

Do cosv';' 4- Eo sinv'^ = Bo cosv'< + Gq sinv7.

Ainsi r ensemble des termes périodiques ou séculaires mixtes du développement (21), qui contiennent en facteur cosvi ou sinvi, c'est-à-dire l'ensemble des termes (aS), peut être sommé facilement; il a pour somme

Bq cosv' t -{- Cq sinv'ï.

Nous voyons de plus que :

Si dans le développement aucjuel nous conduit l'application directe de la méthode de Lagrange, c'est-à-dire dans le développement (21), nous connaissons les termes périodiques et les termes séculaires purs, nous en pourrons déduire immédiatement les termes séculaires mixtes.

En efïet, l'ensemble des termes périodiques s'écrit

\ Bg COSV ^ -f- ^ Gfl siiiv t.

Nous n'avons pas d'autre terme séculaire pur que le terme n'- 1 dans le développement de \i.

Les termes séculaires mixtes proviennent du développement de

^ Bo cosv'/ H- 2^ Go shW t.

Or, connaissant les termes périodiques, nous connaissons Bq et Cq ; connaissant les termes séculaires purs, nous connaissons les n'^ et par conséquent v'.

On arrive donc ainsi à démontrer certaines propriétés des développements (21), c'est-à-dire des développements obtenus par la méthode de Lagrange; ces propriétés sont beaucoup plus simples que dans le cas général du problème des trois corps. La raison de cette sim^Dlicité relative est aisée à trouver; elle tient avant tout à l'absence de variables analogues à ^ et à tj, de telle sorte que Fq dépend effectivement de n variables sur 2/1.